Forma modulare

In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Descrizione informaleModifica

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni  , ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano   e  . Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

Forme modulari per SL2(Z)Modifica

Una forma modulare di peso   per il gruppo

 

è una funzione   definita sul semipiano superiore complesso   a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su  ;
(2) per ogni   in   e per ogni matrice   in   vale
 
(3) è olomorfa alla cuspide, cioè   deve essere olomorfa per   (cioè per  ). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso   è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso   rispetto a   è uno spazio vettoriale su   e si indica con  .

La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano

 
 

Poiché le matrici   e   generano il gruppo  , allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

 
 

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per   dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di  , si considera il gruppo modulare, cioè  , poiché così l'azione su   è fedele.

Sviluppo in serie di FourierModifica

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare   esiste uno sviluppo in serie di Fourier

 

dove  . I coefficienti   sono detti coefficienti di Fourier di   e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto,  -sviluppo in serie di  .

Forme cuspidaliModifica

Una forma cuspidale di peso   è una forma modulare   di peso   che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

(4)  

dove   è il primo coefficiente del  -sviluppo di  . L'insieme delle forme cuspidali è un  -sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari   e si indica con  .

Condizioni di crescitaModifica

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti   del  -sviluppo di una funzione   definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

(3') esistono due costanti positive   e   tali che   per ogni  .

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.

Formule della dimensioneModifica

Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso  . Dato   intero, si ha

 
 

dove   è la funzione parte intera.

La L-serie e il legame con le curve ellitticheModifica

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

Le dimostrazioni conseguentiModifica

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.

BibliografiaModifica

  • (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
  • (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
  • (EN) Gorō Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
  • (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
  • (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.
  • Singh, S. (1999), L'ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, ISBN 88-17-11291-7.

Voci correlateModifica

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