Formula di Jensen

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In analisi complessa, la formula di Jensen mette in relazione il valore medio del logaritmo di una funzione analitica su una circonferenza con gli zeri all'interno del cerchio. La formula, il cui nome deriva dal matematico danese Johan Jensen, rappresenta un importante risultato nello studio delle funzioni intere. In particolare, è il punto di partenza della teoria di Nevanlinna.

EnunciatoModifica

Sia   una funzione analitica in una regione del piano complesso che contiene il cerchio chiuso   di raggio   intorno all'origine. Siano inoltre   gli zeri di   all'interno di   ripetuti secondo la loro molteplicità, e  . La formula di Jensen afferma che

 

La formula stabilisce una connessione tra gli zeri della funzione   all'interno del disco   e la media di   lungo il contorno  , e può essere vista come una generalizzazione della proprietà del valor medio delle funzione armoniche. Infatti, se   non ha zeri in  , allora la formula di Jensen si riduce a

 

che è la proprietà del valor medio della funzione armonica  .

Un enunciato equivalente che viene spesso usato è il seguente:

 

dove   indica il numero di zeri di   nel disco di raggio   centrato nell'origine.

La formula si può generalizzare anche per funzione che sono solamente meromorfe in  . Si assuma che

 

dove   e   sono funzioni analitiche in   che si annullano in   e   rispettivamente, allora la formula di Jensen per le funzioni meromorfe afferma che

 

La formula può essere usata per stimare il numero di zeri di una funzione analitica all'interno di un cerchio. Infatti, se   è una funzione analitica in un disco di raggio   centrato in   e se   è limitata da   nel contorno di quel disco, allora il numero di zeri di   in un cerchio di raggio   centrato nello stesso punto è al massimo

 

Formula di Poisson–JensenModifica

La formula di Jensen è una semplice conseguenza della più generale formula di Poisson-Jensen, che a sua volta segue dalla prima applicando una trasformazione di Möbius a  . Fu introdotta dal matematico finlandese Rolf Nevanlinna. Se   è una funzione che è analitica nel disco unitario, con zeri   interni al cerchio, allora per ogni   nel disco unitario, la formula di Poisson-Jensen afferma che

 

Dove

 

è il nucleo di Poisson sul disco unitario. Se la funzione   non ha zeri nel cerchio unitario, allora la formula di Poisson-Jensen si riduce a

 

che è la formula di Poisson per la funzione armonica  .

BibliografiaModifica

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