Apri il menu principale

La disuguaglianza di Jensen (dal nome del matematico danese Johan Jensen) è una disuguaglianza che lega il valore di una funzione convessa al valore della medesima funzione calcolata nel valor medio del suo argomento. Essa è stata enunciata e dimostrata da Jensen nel 1906[1]. La disuguaglianza di Jensen può essere introdotta in diversi contesti e con diversi gradi di generalità, i più rilevanti dei quali sono presentati nel seguito.

Indice

EnunciatiModifica

La forma più elementare della disuguaglianza di Jensen può essere enunciata come media pesata di un numero finito di numeri reali. Essa può essere ampiamente generalizzata nel contesto della teoria della misura, e trova la sua forma più naturale e potente nel formalismo della teoria della probabilità. Nel seguito si forniscono prima gli enunciati della disuguaglianza (partendo dai più semplici fino ad arrivare a quelli più generali), e quindi le dimostrazioni degli stessi.

Ricordiamo che se   è una funzione convessa, allora   è concava, e pertanto delle disuguaglianze analoghe a quelle riportate sotto possono essere ottenute per funzioni concave, a patto di invertire il verso delle disuguaglianze stesse.

Forma discretaModifica

Sia   un intero positivo. Per una funzione convessa a valori reali  , e per dei numeri reali   nel dominio di  , e per dei pesi positivi   aventi somma unitaria, la disuguaglianza di Jensen afferma:

 

In particolare, se i pesi   sono tutti uguali ad  :

 

ovverosia il valore di   calcolato nella media degli   è più piccolo della media dei valori di   sugli  .

La disuguaglianza nella notazione della teoria della misuraModifica

Nelle precedenti formule, è naturale chiedersi se è possibile effettuare una sorta di passaggio al continuo. La risposta è affermativa, e la disuguaglianza di Jensen può essere generalizzata come segue.

Sia   uno spazio di misura, tale che  . Se   è una funzione integrabile da   a valori reali, e   è una funzione convessa sull'immagine di  , allora:[2]

 

La disuguaglianza nella notazione della teoria della probabilitàModifica

Lo stesso risultato può più naturalmente essere enunciato nel contesto della teoria della probabilità. Sia   uno spazio di probabilità,   una variabile aleatoria a valori reali che possieda valore atteso, e   una funzione convessa tale che anche   possieda valore atteso. Allora:

 

In questa notazione probabilistica, la misura   va appunto intesa come una probabilità  , l'integrale rispetto a   come un valore atteso  , e la funzione   come una variabile aleatoria  .

La disuguaglianza generale nella teoria della probabilitàModifica

Più in generale, sia   uno spazio vettoriale topologico, ed   una variabile aleatoria integrabile a valori in  . In questo contesto generale, integrabile significa che per ogni elemento   nel duale di   accade  , e che esiste un elemento   in   tale che  . Allora, per ogni funzione convessa misurabile   su  , e per ogni sub-σ-algebra   di  :

 

Qui   indica l'attesa condizionata rispetto alla σ-algebra  . Questo enunciato più generale si riduce al precedente qualora il generico spazio topologico vettoriale   sia rimpiazzato dall'asse reale, e   dalla σ-algebra banale  .

Media aritmetica e geometricaModifica

La funzione   è concava, utilizzando in questo caso la disuguaglianza di Jensen essa si riduce alla disuguaglianza della media aritmetica e della media geometrica.

 

Infatti:

 

dove l'ultima disuguaglianza discende dalla disuguaglianza di Jensen.

Applicazioni per disuguaglianze specificheModifica

La disuguaglianza di Jensen consente di dimostrare con facilità molte disuguaglianze elementari. Ad esempio, per ogni coppia di numeri reali positivi   tali che   è valida la disuguaglianza

 

Per dimostrarlo, osserviamo che la funzione

 

è convessa per   positivo, in quanto la sua seconda derivata è sempre positiva per tali valori di  . Dalla disuguaglianza di Jensen segue

 

ossia appunto

 

NoteModifica

  1. ^ Jensen, J. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 61.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica