Funzione beta di Dirichlet

In matematica la funzione beta di Dirichlet, nota anche come funzione beta di Catalan, è una funzione speciale strettamente collegata alla funzione zeta di Riemann. È una particolare L-funzione di Dirichlet, la L-funzione per il carattere alternato di periodo quattro.

La funzione beta di Dirichlet

Definizione

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La funzione beta di Dirichlet è definita come

 

o anche

 

In entrambe le definizioni si assume che Re(s)>0.

È anche possibile definirla in termini della funzione zeta di Hurwitz valida nell'intero piano complesso s:

 .

Equazione funzionale

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L'equazione funzionale estende la funzione beta al lato sinistro del piano complesso, cioè quello con Re(s)<0. È definita come

 

dove Γ(s) è la funzione Gamma.

Valori speciali

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Alcuni valori notevoli della funzione beta di Dirichlet sono:

 ,
 ,
 ,

dove K è la costante di Catalan, e

 .
 
 

Più in generale, per ogni intero positivo k:

 ,

dove   sono i numeri di Eulero. Per interi k ≤ 0, questa si estende in:

 .

quindi la funzione si azzera per tutti i valori integrali negativi dispari dell'argomento.

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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