Grande dodecicosaedro

Grande dodecicosacrono
	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/DU63_great_dodecicosacron.png/260px-DU63_great_dodecicosacron.png" decoding="async" width="260" height="260" class="mw-file-element" data-file-width="1000" data-file-height="1000">
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Antiparallelogrammi
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	32
Caratteristica di Eulero	-28
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande dodecicosaedro

Grande dodecicosaedro
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 esagoni; 12 decagrammi
Nº facce	32
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-28
Incidenza dei vertici	6.10/3.6/5.10/7
Notazione di Wythoff	3 5/3 (3/2 5/2) \|
Diagramma di Coxeter-Dynkin	;
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande dodecicosacrono
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice	Poliedro duale

In geometria, il grande dodecicosaedro è un poliedro stellato uniforme avente 32 facce - 20 esagonali e 12 forma di decagramma - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Costruzioni di Wythoff modifica

Utilizzando la costruzione di Wythoff, il grande dodecicosaedro si può ottenere utilizzando tre famiglie di triangoli di Schwarz: 3 5/3 3/2 | e 3 5/3 5/2 |, ottenendo sempre lo stesso risultato.

Coordinate cartesiane modifica

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande dodecicosaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:

\left(\,\pm 1,\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm \varphi \,\right)

\left(\,0,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (2-\varphi )\,\right)

dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea.

Poliedri correlati modifica

Il grande dodecicosaedro, spesso indicato con il simbolo U₆₃, ha la stessa disposizione di vertici del dodecaedro troncato, una cui versione non regolare è il suo inviluppo convesso, e condivide la posizione degli spigoli con il grande dodecicosidodecaedro ditrigonale, con cui ha in comune la disposizione delle facce decagrammiche, e con il grande icosicosidodecaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce esagonali.

Dodecaedro troncato	Grande icosicosidodecaedro	Grande dodecicosidodecaedro ditrigonale	Grande dodecicosaedro

Grande dodecicosacrono modifica

Il grande dodecicosacrono è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande dodecicosaedro, avente per facce 60 antiparallelogrammi.^[2] Dato un grande dodecicosaedro di spigolo pari a 1, immaginando il grande dodecicosacrono come composto da 60 facce intersecanti a forma di antiparalleogramma, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno due coppie di angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos({\frac {3}{4}}+{\frac {1}{20}}{\sqrt {5}})\approx 30,480\,324\,565\,36^{\circ }$ e $\arccos(-{\frac {5}{12}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 81,816\,127\,508\,183^{\circ }$ , con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ , e le due diagonali che si incontrano con un angolo di $\arccos({\frac {5}{12}}-{\frac {1}{60}}{\sqrt {5}})\approx 67,703\,547\,926\,46^{\circ }$ .

Note modifica

^ Roman Maeder, 63: great dodecicosahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 67. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni modifica

(EN) Eric W. Weisstein, Grande dodecicosaedro, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Grande dodecicosacrono, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Roman Maeder, 63: great dodecicosahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.

[2] Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 67. URL consultato il 20 marzo 2024.

[1]

[2]