Grande dodecicosidodecaedro ditrigonale

Grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale
	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/DU42_great_ditrigonal_dodecacronic_hexecontahedron.png/260px-DU42_great_ditrigonal_dodecacronic_hexecontahedron.png" decoding="async" width="260" height="260" class="mw-file-element" data-file-width="1000" data-file-height="1000">
Tipo	Poliedro stellato
Forma facce	Aquiloni
Nº facce	60
Nº spigoli	120
Nº vertici	44
Caratteristica di Eulero	-16
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande dodecicosidodecaedro ditrigonale

Grande dodecicosidodecaedro ditrigonale
Tipo	Poliedro stellato uniforme
Forma facce	20 triangoli; 12 pentagoni; 12 decagrammi
Nº facce	44
Nº spigoli	120
Nº vertici	60
Caratteristica di Eulero	-16
Incidenza dei vertici	3.10/3.5.10/3
Notazione di Wythoff	3 5 \| 5/3; 5/4 3/2 \| 5/3
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetria	Ih, [5,3], *532
Duale	Grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale
Proprietà	Non convessità
Politopi correlati
Figura al vertice	Poliedro duale

In geometria, il grande dodecicosidodecaedro ditrigonale è un poliedro stellato uniforme avente 44 facce - 20 triangolari, 12 pentagonali e 12 forma di decagramma - 120 spigoli e 60 vertici.^[1]

Costruzioni di Wythoff modifica

Utilizzando la costruzione di Wythoff, il grande dodecicosidodecaedro ditrigonale si può ottenere utilizzando tre famiglie di triangoli di Schwarz: 3 5 | 5/3 e 5/4 3/2 | 5/3, ottenendo sempre lo stesso risultato.

Coordinate cartesiane modifica

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande dodecicosidodecaedro ditrigonale sono date da tutte le permutazioni pari di:

\left(\,\pm 1,\,\pm 2(\varphi -1),\,\pm \varphi \,\right)

\left(\,0,\,\pm (2-\varphi ),\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)

\left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (2-\varphi )\,\right)

dove $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ è la sezione aurea.

Poliedri correlati modifica

Il grande dodecicosidodecaedro ditrigonale, spesso indicato con il simbolo U₄₂, ha la stessa disposizione di vertici del dodecaedro troncato e condivide la posizione degli spigoli con il grande icosicosidodecaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce pentagonali, e con il grande dodecicosaedro, con cui ha in comune la disposizione delle facce decagrammiche.

Dodecaedro troncato	Grande icosicosidodecaedro	Grande dodecicosidodecaedro ditrigonale	Grande dodecicosaedro

Grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale modifica

Il grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande dodecicosidodecaedro ditrigonale, avente per facce 60 aquiloni.^[2] Dato un grande dodecicosidodecaedro ditrigonale di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale come composto da 60 facce intersecanti a forma di aquilone, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos({\frac {5}{12}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})\approx 98,183\,872\,491\,81^{\circ }$ e due angoli di ampiezza $\arccos(-{\frac {5}{12}}+{\frac {1}{60}}{\sqrt {5}})\approx 112,296\,452\,073\,54^{\circ }$ e $\arccos(-{\frac {1}{12}}+{\frac {19}{60}}{\sqrt {5}})\approx 51,335\,802\,942\,83^{\circ }$ , con il rapporto tra lati lunghi e lati corti pari a ${\frac {31+5{\sqrt {5}}}{22}}\approx 1,917\,288\,176\,70$ .

Note modifica

^ Roman Maeder, 42: great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 62. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni modifica

(EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro dodecacronico ditrigonale, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.

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[1] Roman Maeder, 42: great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.

[2] Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 62. URL consultato il 20 marzo 2024.

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