Identità di Palatini

In relatività generale e nel calcolo tensoriale, l'identità di Palatini, dovuta al matematico Attilio Palatini, è definita dalla formula:

$\delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

dove $\delta \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ denota la variazione dei simboli di Christoffel e $\nabla _{\rho }$ denota la derivata covariante.

Una analoga, pressoché identica, formula vale per la derivata di Lie ${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }$. Infatti, si ha:

${\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),$

dove $\xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }$ denota un qualsiasi campo vettoriale definito sopra lo spaziotempo.

Bibliografia

• (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, Dover Publications, 1978, ISBN 978-0-486-63612-2.
• (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
• (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate

• Derivata covariante
• Tensore di curvatura di Ricci