Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori. Si devono a Elwin Bruno Christoffel.

DefinizioneModifica

Sia   una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante  . Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di   ed un aperto   di  . Nell'aperto   sono definiti i campi di vettori coordinati costanti   e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di  , la derivata covariante del campo   nella  -esima direzione è una combinazione lineare

 

con alcuni coefficienti  . Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni   è una funzione liscia

 

dipendente da tre parametri  . I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante   nella carta.

NotazioneModifica

In alcuni testi è possibile che i simboli di Christoffel siano presentati con una notazione diversa. Una prima possibilità è la seguente[1]:

 

Mentre nel testo originale di Einstein si trova la notazione[2]

 

ProprietàModifica

Oggetto non tensorialeModifica

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori. Con questa espressione, un po' impropria, si intende dire la seguente cosa: si prendano due carte   e   definite su un aperto comune  , esse inducono su   delle coordinate differenti   che generano rispettivamente dei simboli di Christoffel   e  . A questo punto si possono ben definire localmente due tensori:

 .

Se ora le   fossero le componenti (nella carta in cui sono calcolate) di un unico campo tensoriale esso dovrebbe coincidere necessariamente sia con   che con  , quindi la relazione tra i   e i   dovrebbe essere quella che lega le componenti di un tensore   in due carte diverse. Ma noi abbiamo già una formula per calcolare sia i   che i   e quindi o trasformano nel modo corretto o non lo fanno. Il computo mostra che non lo fanno, essi sono collegati dalla relazione:

 

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano come le coordinate di un tensore  .

TorsioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Torsione (geometria differenziale).

I simboli di Christoffel non sono tensori. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se   è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo   ottenuto scambiando le variabili   e   è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

 

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-CivitaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Connessione di Levi-Civita.

Fissato un tensore metrico   su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

 

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla). Nell'ultimo passaggio si è utilizzata la convenzione :

 

per le derivate parziali.

ApplicazioniModifica

Derivata covariante di un campo tensorialeModifica

La derivata covariante di un campo vettoriale   può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

 

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

 

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

 

NoteModifica

  1. ^ Einstein, si veda la nota a pagina 58.
  2. ^ Landau, si veda la nota a pagina 314.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
  • Albert Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015, ISBN 978-88-339-2713-8.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifšits, Fisica Teorica II, Teoria dei Campi, Editori Riuniti university press, 2010, ISBN 978-88-6473-207-7.

Voci correlateModifica

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