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Iperbole (geometria)

In matematica, e in particolare in geometria, l'iperbole (dal greco antico: ὑπερβολή, hyperbolḗ, «eccesso») è una delle sezioni coniche.

Grafico di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti .

DefinizioniModifica

  • In geometria proiettiva si definisce come l'intersezione di un cono circolare retto con un piano che taglia il cono in entrambe le sue falde.
  • In geometria descrittiva, fissati due ellissi omotetiche   e   su un stesso piano e non interne tra loro, l'iperbole si definisce come luogo dei centri delle ellissi omotetiche alle due ellissi date   e   e in modo che siano tangenti alle stesse   e  .
 
iperbole come luogo dei centri delle ellissi tangenti a due ellissi date
  • In geometria euclidea, si definisce come il luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
  • In geometria analitica, un'iperbole è una curva del piano cartesiano definita da un'equazione del tipo
 

tale che  , dove tutti i coefficienti sono reali, e dove esiste più di una soluzione che definisce una coppia   di punti dell'iperbole.

L'equazione generale dell'iperbole si specializza e si semplifica in alcuni casi particolari.

Se l'iperbole soddisfa le seguenti condizioni:

  • ha gli assi coincidenti con gli assi del piano cartesiano;
  • ha il suo centro nell'origine;
  • interseca l'asse delle ascisse;

allora la sua equazione sarà del tipo:

 

se invece l'iperbole soddisfa le prime due condizioni sopracitate, ma interseca l'asse delle ordinate, avrà un'equazione del tipo:

 

In entrambi i casi gli asintoti dell'iperbole hanno equazione  .

Se gli asintoti sono perpendicolari (e quindi, nel caso dell'iperbole avente gli assi coincidenti con gli assi cartesiani, se  ), l'iperbole si dice iperbole equilatera. Se l'iperbole ha asintoti perpendicolari, ma non coincidenti con gli assi, allora essa sarà definita da una funzione omografica. Data un'iperbole equilatera, di asintoti   ed  , il limite della sua funzione per   che tende ad   ed   che tende a  , sarà infinito, graficamente cioè, l'iperbole non ha nessun punto di intersezione con i suoi asintoti, se non all'infinito.

Se un'iperbole equilatera viene riferita ai propri asintoti (e cioè se gli asintoti dell'iperbole coincidono con gli assi cartesiani), allora la sua equazione assume una forma molto semplice:

 

Se   è diverso da zero, a tale curva è associata la funzione di proporzionalità inversa  .

Se   la curva degenera nell'insieme formato dai due assi cartesiani, individuati dall'equazione  .

I vari elementi associati ad un'iperbole sono:

  • fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno distanze la cui differenza è costante;
  • vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole;
  • asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette che interseca l'iperbole in un punto all'infinito.

EquazioniModifica

Equazioni cartesianeModifica

L'iperbole che interseca l'asse delle   e avente centro nel punto  , (quindi traslata) ha equazione

 

Se si applica una rotazione degli assi di 90 gradi, si ottiene l'equazione:

 

In entrambe le formule   è detto semiasse trasverso o semiasse maggiore; è la metà della distanza tra i due rami;   è chiamato semiasse non trasverso o semiasse minore. Si noti che, qualora si faccia uso dei secondi nomi,   può essere maggiore di  ; questa incongruenza viene risolta da alcuni testi invertendo le costanti   e  . In questo caso l'equazione dell'iperbole che interseca l'asse delle   viene scritta come:

 

La distanza tra i due fuochi è pari a   dove:

 

L'eccentricità dell'iperbole può essere definita da:

 

Tangenti a un'iperboleModifica

I coefficienti angolari delle tangenti a un'iperbole  :   condotte da un punto   ad essa esterno si ricavano dalla risoluzione della seguente equazione di secondo grado:

 

con   e  .

Iperbole equilateraModifica

L'iperbole equilatera con centro in   ha equazione  . Il caso generale, di un'iperbole equilatera traslata, è descritta da un caso particolare della cosiddetta funzione omografica di equazione  . essa ha il centro in   (centro della funzione omografica). inoltre gli asintoti di tale curva hanno equazione   (per quanto riguarda l'asintoto verticale) e   per l'asintoto orizzontale.

Equazioni polariModifica

 
 
 
 

Equazioni parametricheModifica

 

Questa prima parametrizzazione può essere ricavata geometricamente nel seguente modo: si sceglie uno dei due asintoti dell'iperbole (per esempio  ) e consideriamo tutte le rette parallele ad esso (cioè un fascio di rette parallele improprio). Ogni retta di questo fascio intersecherà l'altro asintoto in un punto generico di coordinate  . Quindi il fascio di rette improprio avrà equazione   Ora si interseca esso con l'iperbole canonica   ottenendo il punto  .

Ponendo   otteniamo   e applicando la sostituzione inversa  .

 

Equazione parametrica trigonometricaModifica

Come l'Ellisse anche l'Iperbole ha funzioni Parametriche Trigonometriche. Per un Punto P(x;y) dell'Iperbole[1] esse sono:
 
essendo α angolo di riferimento con 0 ≤ α ≤ 2π.

DimostrazioneModifica

 
quadrando e sommando:
 
Dove l'ultima espressione è l'Equazione conica dell'Iperbole.
Gli angoli dell'equazione conica e quella parametrica hanno legame:
 

Equazione generale delle iperboliModifica

L'equazione generale delle iperboli con semiasse maggiore   dove i fuochi sono posti in posizione generica nel piano e siano   ed   è rappresentata dalla seguente equazione delle coniche:

 

I parametri sono dati dai seguenti valori:

 
 
 
 
 
 

NoteModifica

  1. ^ Autore:M.Vaglieco, Cap.III 'LE CURVE' in "Geometria Parametrica" (PDF), su geometriaparametrica.it.

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