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Fig. 1 La legge di Hooke fornisce una rappresentazione accurata del comportamento fisico delle molle per le piccole variazioni della lunghezza

In meccanica dei materiali, la legge di Hooke è la più semplice relazione costitutiva di comportamento dei materiali elastici. Essa è formulata dicendo che l'allungamento subìto da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza ad esso applicata, la costante di proporzionalità viene detta costante elastica e dipende dalla natura del materiale stesso.

I materiali per i quali la legge di Hooke è un'utile approssimazione del reale comportamento sono detti materiali elastico-lineari. Il modello classico di elasticità lineare è la molla perfetta o ideale, cioè una molla priva di peso, di massa, in assenza di attrito e di altri fenomeni dissipativi. Definisce perciò un solido elastico allo stesso modo in cui la legge di Pascal definisce un fluido ideale.

Indice

Storia e dimostrazioneModifica

Proprio nello studio del comportamento delle molle, la legge fu prima formulata da Robert Hooke nel 1675, nella forma dell'anagramma latino "ceiiinosssttuv", la cui soluzione fu da Hooke pubblicata nel 1678 come "Ut tensio, sic vis" che significa "come l'estensione, così la forza", cioè l'allungamento prodotto (nella molla)   è direttamente proporzionale alla forza   impressa:

 

La costante   rappresenta la costante elastica longitudinale della molla, espresso in  .

La rappresentazione moderna della legge di Hooke fa riferimento ai concetti di tensione   e deformazione   ed è fornita nel caso monodimensionale dalla relazione:

 

dove   è il modulo di elasticità longitudinale di Young, da cui si può dedurre che  , dove   è la sezione e   è una dimensione longitudinale.

L'inverso del modulo di Young è detto modulo di cedevolezza:  

Nel caso di tensioni e deformazioni pluriassiali la legge è invece rappresentata in termini tensoriali dalla legge di Hooke generalizzata:

 

dove l'operatore lineare   è il tensore di elasticità, che è un tensore del quarto ordine. La legge inversa, invece, è definita come:

 

dove l'operatore lineare   è il tensore di cedevolezza, anch'esso tensore del quarto ordine.

Dei suoi 81 coefficienti scalari,  ha in generale 36 coefficienti indipendenti, che si riducono a 21 nel caso di materiale iperelastico, ed a soli due nel caso il materiale sia anche omogeneo e isotropo. In tale ultimo caso il legame costitutivo è dato dalla relazione:

 

in termini di due soli parametri scalari elastici: la costante di Lamé   e il modulo di elasticità tangenziale  . L'espressione inversa del legame costitutivo è la seguente:

 

La forma inversa del legame è più usualmente data in termini del modulo di Young   e del modulo di Poisson  

 

Determinazione sperimentale della costante elastica longitudinale k di una mollaModifica

La validità della legge di Hooke per una molla può essere verificata in laboratorio anche tramite semplici attrezzature. In genere, l'obiettivo dell'esperimento è la determinazione del valore della costante elastica (longitudinale)   di una molla.

Per fare ciò occorre sottoporre la molla a carichi crescenti, misurando il relativo allungamento Δl, pari alla differenza tra la lunghezza della molla sottoposta al carico, crescente, e la lunghezza della molla a riposo (ovvero non sottoposta ad alcun carico verticale, a meno del peso proprio della molla stessa). Il rapporto tra la forza   applicata e l'allungamento Δl, espresso in metri, rappresenta proprio il valore della costante elastica   di quella data molla. A questo punto occorre applicare forze   verticali crescenti alla molla che, seguendo la Legge di Hooke, produrrà allungamenti Δl direttamente proporzionali alle forze   verticali applicate.

I singoli valori di costante elastica   così determinati, se l'esperimento è svolto correttamente, risulteranno costanti, a meno di eventuali errori di misura, da determinarsi con la teoria degli errori.

Nel caso in cui (come in figura 3) due molle fossero poste in serie (ma questo vale anche per n molle poste in serie), si può dimostrare e vericare sperimentalmente che il valore della costante elastica equivalente totale Keq sarà pari a:

 

 
Fig. 2 Apparato verifica legge di Hooke
 
Fig. 3 Apparato verifica legge Hooke (molle in serie)

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