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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il Lemma di Schwarz sulle funzioni olomorfe, vedi Lemma di Schwarz.

In analisi matematica, il teorema di Schwarz è un importante teorema che afferma che (sotto opportune ipotesi) l'ordine con il quale vengono eseguite le derivate parziali in una derivata mista di una funzione a variabili reali è ininfluente.

Indice

Il teorema in due variabiliModifica

Sia   una funzione in due variabili, definita su un aperto   del piano  . Se   ammette derivate seconde miste continue, cioè  , allora queste coincidono in ogni punto  , ovvero:

 

In altre parole, invertendo l'ordine di derivazione di una doppia derivazione parziale mista, il risultato non cambia.

Come conseguenza, se una funzione   ha derivate parziali continue, la sua matrice hessiana è simmetrica.

DimostrazioneModifica

Sia  . Si scelgono due reali  ,   tali che  . Ciò è possibile, poiché   è un aperto di  .

Si definiscono due funzioni   e   come segue:

 
 

in modo che:

 
 

Si prova facilmente che, fissati   e   nei rispettivi intervalli:

 

Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:

 

e analogamente:

 

con   e  , dove per comodità di scrittura si sono assunti  .

Facendo tendere   e   a   (e quindi anche   e  ), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha  , cioè la tesi.

EsempioModifica

Sia:

 

Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :

 
 

queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:

 
 

Quindi  .

Esempio di funzione con derivate parziali miste diverseModifica

L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:

 

Si hanno derivate parziali prime continue:

 
 

Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:

 
 

Dunque  .

NoteModifica

  1. ^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms (5th ed.), p. 732–733.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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