Lemma del cerchio grande

In analisi complessa, il lemma del cerchio grande (o lemma del grande arco di cerchio) permette di risolvere integrali impropri aventi come integranda una funzione razionale.

Enunciato

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Sia   un insieme aperto illimitato del piano complesso  . Sia   olomorfa in   e tale che:

 

allora

 

dove   rappresenta il raggio della semicirconferenza utilizzata per creare una curva chiusa attorno a un polo.

Dimostrazione

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Costruzione di una curva regolare a tratti per calcolare l'integrale

Si ha che:

 

Inoltre vale che:

 

Si calcola di seguito il modulo dell'integrale:

 

Poiché si è supposto  , con  , ed essendo   il raggio della circonferenza, si può portare fuori dal segno di integrale tutta la frazione. Quindi:

 

L'integrale rimasto non è altro che la lunghezza dell'arco di circonferenza compresa tra i due angoli  .

Voci correlate

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