Lunghezza di un modulo

In matematica, la lunghezza di un modulo è una quantità (un numero naturale oppure infinito) che misura la "grandezza" di un modulo, generalizzando la nozione di dimensione degli spazi vettoriali.

Definizioni equivalenti

Sia $M$ un modulo su un anello $A$. La lunghezza di una catena di sottomoduli è definita come il numero massimo di inclusioni strette: così la catena

$N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}$

ha lunghezza $n$. La lunghezza di $M$ su $A$, indicata come $\ell _{A}(M)$ (o $\ell (M)$ se non c'è rischio di confusione) è l'estremo superiore delle lunghezze delle catene di $A$-sottomoduli di $M$.

Esempi

Il modulo $\{0\}$ è l'unico modulo ad avere lunghezza 0, mentre i moduli semplici (ovvero i moduli senza sottomoduli propri) sono gli unici ad avere lunghezza 1. Se l'anello $A$ è un campo, allora le catene di sottomoduli non sono altro che le catene di sottospazi vettoriali; di conseguenza, la lunghezza di $M$ come $A$-modulo coincide con la dimensione di $M$ come spazio vettoriale.

L'anello $\mathbb {Z}$ (o, più in generale, qualsiasi anello la cui dimensione di Krull è maggiore di 1) non ha lunghezza finita su sé stesso: ad esempio, nel caso di $\mathbb {Z}$, dato un intero $n$ arbitrario, la catena

$2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}$

ha lunghezza $n$.

Moduli di lunghezza finita

Un modulo $M$ è di lunghezza finita se e solo se i suoi sottomoduli verificano contemporaneamente la condizione della catena ascendente e la condizione della catena discendente, ovvero se e solo se è contemporaneamente un modulo noetheriano e un modulo artiniano; in particolare, un anello $A$ è di lunghezza finita su sé stesso se e solo se è artiniano, ovvero noetheriano e di dimensione 0. In tal caso, la lunghezza di $M$ è uguale alla lunghezza di una sua qualsiasi serie di composizione, ovvero di una catena di sottomoduli

$N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M$

tale che ogni quoziente $N_{i+1}/N_{i}$ sia un modulo semplice.

Il teorema di Krull-Schmidt garantisce che ogni modulo di lunghezza finita può essere espresso come somma diretta (finita) di una famiglia di moduli indecomponibili.

Successioni esatte

Sia

$0\longrightarrow L\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0$

una successione esatta di $A$-moduli. Allora $\ell _{A}(M)=\ell _{A}(L)+\ell _{A}(N)$, e in particolare $M$ ha lunghezza finita se e solo se sia $L$ che $N$ hanno lunghezza finita. In particolare, i sottomoduli e i quozienti di un modulo di lunghezza finita sono di lunghezza finita, così come la somma diretta finita $\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}$ di moduli di lunghezza finita; in quest'ultimo caso, la lunghezza della somma è uguale alla somma della lunghezza degli $M_{i}$.

Esiste inoltre un analogo della formula di Grassmann: se $N,P$ sono sottomoduli di $M$, allora

$\ell _{A}(N+P)+\ell _{A}(N\cap P)=\ell _{A}(N)+\ell _{A}(P)$.

Bibliografia

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.