Modulo artiniano

In matematica, un modulo artiniano è un modulo su un anello tale che l'insieme dei suoi sottomoduli soddisfa la condizione della catena discendente. Un anello che è un modulo artiniano su sé stesso è detto anello artiniano; entrambe le nozioni prendono nome da Emil Artin.

La definizione di modulo artiniano è in un certo senso duale a quella di modulo noetheriano.

DefinizioneModifica

Sia   un modulo sinistro su un anello  .   è un modulo artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli

 

si stabilizza, ovvero se esiste un indice   tale che   per ogni  . Analoghe definizioni valgono se   è un modulo destro.

Se   è artiniano con la struttura di  -modulo sinistro (ovvero quella in cui i sottomoduli sono i suoi ideale sinistri) allora   è detto anello artiniano sinistro; analogamente, è detto anello artiniano destro se è artiniano come  -modulo destro. Nel caso in cui   sia contemporaneamente artiniano sinistro e destro è detto semplicemente "artiniano".

Esempi e proprietàModifica

Ogni modulo finito è artiniano (in quanto contiene solo un numero finito di sottomoduli).

Se   è un modulo artiniano, allora ogni suo sottomodulo e ogni suo quoziente è ancora artiniano; inoltre, la somma diretta di un numero finito di moduli artiniani è ancora artiniana. Ad esempio, se   è un campo, allora ogni spazio vettoriale (ovvero ogni  -modulo) di dimensione finita è un modulo artiniano (essendo la somma diretta di una quantità finita di copie di  ).

Data una successione esatta

 ,

  è un modulo artiniano se e solo se lo sono sia   che  .

Ogni modulo artiniano finitamente generato su un anello commutativo è noetheriano. Questa proprietà non è valida in generale: ad esempio, il gruppo di Prüfer   (isomorfo, ad esempio, al gruppo moltiplicativo di tutte le radici  -esime dell'unità, con   primo fissato e   che varia tra i numeri naturali) è uno  -modulo artiniano ma non noetheriano. Un modulo è contemporaneamente artiniano e noetheriano se e solo se ha lunghezza finita.

BibliografiaModifica

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