In matematica , in particolare in algebra lineare , la matrice dei cofattori di una matrice quadrata
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
matrice dei complementi algebrici , è un'altra matrice quadrata di ordine
n
{\displaystyle n}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
cofattore (o complemento algebrico ) di
A
{\displaystyle A}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
c
o
f
i
,
j
(
A
)
:=
(
−
1
)
i
+
j
⋅
det
(
A
i
,
j
)
{\displaystyle \mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})}
qui il termine
det
(
A
i
,
j
)
{\displaystyle \det(A_{i,j})}
minore di
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:
c
o
f
A
=
(
c
o
f
1
,
1
(
A
)
…
c
o
f
1
,
n
(
A
)
⋮
⋱
⋮
c
o
f
n
,
1
(
A
)
…
c
o
f
n
,
n
(
A
)
)
{\displaystyle \mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}}
Indice
La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata ) ed è indicata con l'operatore
a
d
j
{\displaystyle \mathrm {adj} }
adjugate matrix .
Quindi:
a
d
j
A
=
(
c
o
f
A
)
T
{\displaystyle \mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}}
L'aggiunta della matrice:
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}
è:
adj
(
A
)
=
(
d
−
b
−
c
a
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}
e si nota che
det
(
adj
(
A
)
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(A)}
adj
(
adj
(
A
)
)
=
A
{\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A}
Data la matrice
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}
La sua aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori:
adj
(
A
)
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
=
(
+
|
5
6
8
9
|
−
|
2
3
8
9
|
+
|
2
3
5
6
|
−
|
4
6
7
9
|
+
|
1
3
7
9
|
−
|
1
3
4
6
|
+
|
4
5
7
8
|
−
|
1
2
7
8
|
+
|
1
2
4
5
|
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
dove:
|
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
|
=
det
(
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
)
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)}
Quindi la matrice aggiunta di
A
{\displaystyle A}
adj
(
A
)
=
(
−
3
6
−
3
6
−
12
6
−
3
6
−
3
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}}
Esempio di calcolo di matrice aggiunta:
adj
(
2
1
1
0
−
1
2
0
2
−
1
)
=
(
−
3
3
3
0
−
2
−
4
0
−
4
−
2
)
{\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}}
(EN Section 4.4: Applications of determinants , in Linear Algebra and its Applications , 3rd, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231–232, ISBN 0-15-551005-3 .
Collegamenti esterni Modifica
(EN Self-Adjoint MathWorld (EN Matrix Reference Manual ee.ic.ac.uk . (EN Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
(EN adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } Wolfram Alpha 
