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Matrice trasposta coniugata

In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

DefinizioneModifica

Data una matrice  , indicando con   la sua trasposta e con l'asterisco   l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata   è data da:

 

In termini degli elementi vale la relazione:

 

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

 

Ad esempio:

 

ProprietàModifica

Valgono le seguenti proprietà:

 

e in generale:

 

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

 ;

infatti

 ,

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con   il prodotto hermitiano standard fra vettori di  :

 

Matrici hermitianeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

 

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

 

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa   può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
  • (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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