Operazioni con i limiti

In analisi matematica, le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.

Operazioni con i limiti di funzione

Siano:

$f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \qquad g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

due funzioni definite su domini $X_{f},X_{g}$ non disgiunti, e sia $x_{0}$ un punto di accumulazione per $X_{f}\cap X_{g}$.

Se esistono i limiti:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\quad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}$

allora:

• $\lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R}$
• $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}$
• $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}$
• $\lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad {\mbox{se }}l_{1}\neq 0$
• $\lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad {\mbox{se }}l_{2}\neq 0$

Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.

Dimostrazione

Preso:

$\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon$

si ottiene direttamente:

$c\cdot \left|f(x)-l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \to \left|c\cdot f(x)-c\cdot l_{1}\right|<c\cdot \epsilon$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Presi:

$\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon$ e $\left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon$

dall'espressione:

$\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|$

per la disuguaglianza triangolare si ottiene:

$\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<\left|f(x)-l_{1}\right|+\left|g(x)-l_{2}\right|$

$\left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<2\cdot \epsilon$

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Preso:

$f(x)\cdot g(x)-l_{1}\cdot l_{2}$

aggiungendo e togliendo $g(x)\cdot l_{1}$ si ottiene:

$g(x)\cdot \left(f(x)-l_{1}\right)+l_{1}\cdot \left(g(x)-l_{2}\right)$

posti:

$\left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon$ e $\left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon$

Operazioni sulla retta estesa

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l_{1}$ e/o $l_{2}$ sia infinito. Ad esempio, se $l_{1}=\pm \infty$ e $l_{2}$ è finito, valgono le relazioni seguenti:

• $f(x)\to \pm \infty ,\,c>0\to \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\pm \infty$
• $f(x)\to \pm \infty ,\,c<0\to \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\mp \infty$
• $f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\pm \infty$
• $f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}(f(x)-g(x))=\pm \infty$
• $f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0^{\pm }$
• $f(x)\to 0^{\pm }\to \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=\pm \infty$
• $f(x)\to \pm \infty ,\,l>0\to \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\pm \infty$
• $f(x)\to \pm \infty ,\,l<0\to \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\mp \infty$

Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come:

• $l\cdot \pm \infty =\pm \infty$ (se $l>0$ )
• $\pm \infty +l=\pm \infty$
• $+\infty +\infty =+\infty$
• $+\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty$ (seguendo la regola dei segni convenzionale)
• ${\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }$ (se $l>0$ )

Forme indeterminate

Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo:

$+\infty -\infty \qquad 0\cdot \pm \infty \qquad {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\qquad {\frac {0}{0}}$

Bibliografia

• (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
• (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)

Voci correlate

• Limite di una funzione