Apri il menu principale

1leftarrow blue.svgVoce principale: Limite di una funzione.

In analisi matematica, le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.

Indice

Operazioni con i limiti di funzioneModifica

Siano:

 

due funzioni definite su domini   non disgiunti, e sia   un punto di accumulazione per  .

Se esistono i limiti:

 

allora:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.

DimostrazioneModifica

Preso:

 

si ottiene direttamente:

 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Presi:

  e  

dall'espressione:

 

per la disuguaglianza triangolare si ottiene:

 
 

a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.

Preso:

 

aggiungendo e togliendo   si ottiene:

 

posti:

  e  

Operazioni sulla retta estesaModifica

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui   e/o   sia infinito. Ad esempio, se   e   è finito, valgono le relazioni seguenti:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come:

  •   (se   )
  •  
  •  
  •   (seguendo la regola dei segni convenzionale)
  •   (se   )

Forme indeterminateModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Forma indeterminata.

Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
  • (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica