Osservabilità

Nella teoria del controllo, la proprietà di osservabilità di un sistema dinamico determina la possibilità di risalire allo stato del sistema a partire dalla conoscenza delle sue uscite. Osservabilità e controllabilità sono generalmente due caratteristiche legate fra loro; in particolare, nei sistemi dinamici lineari stazionari sono matematicamente duali.

Sistemi dinamici lineariModifica

Un sistema si dice osservabile se, per qualunque combinazione possibile di stati e ingressi, lo stato corrente può essere determinato in tempo finito attraverso le uscite del sistema. In altri termini, se un sistema è completamente osservabile significa che lo spazio delle fasi è sufficientemente grande da contenere tutti gli stati possibili.

Per i sistemi dinamici lineari tempo invarianti:

 
 

se lo stato   ha dimensione   ed il rango della matrice di osservabilità:

 

è pieno, ovvero uguale a  , il sistema è osservabile. Si nota che, in altri termini, se   righe sono linearmente indipendenti allora ognuno degli   stati è osservabile attraverso combinazioni lineari delle variabili di uscita  . Un modulo progettato per misurare lo stato di un sistema dalla misurazione delle uscite viene chiamato un osservatore di stato o semplicemente "osservatore" per quel sistema.

Si definisce inoltre l'indice di osservabilità di un sistema LTI come il più piccolo numero naturale   per cui vale  , dove:

 

Per i sistemi LTI osservabilità e controllabilità sono proprietà duali; nello specifico si definisce il sistema duale:

 
 

e si verifica che il sistema originale è completamente osservabile se e solo se il sistema duale è completamente controllabile, ed è completamente controllabile se e solo se il sistema duale è completamente osservabile.

BibliografiaModifica

  • (EN) Roger W. Brockett, Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5.

Voci correlateModifica

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