Parte positiva e parte negativa di una funzione

In matematica, per ogni funzione reale si possono definire due funzioni "componenti", dette parte positiva e parte negativa della funzione, date rispettivamente da

Intuitivamente, il grafico per esempio della parte positiva è ottenuto troncando il grafico di quando esso passa sotto l'asse delle ascisse, ponendolo a 0 in quei punti e lasciando inalterato il resto.

Una peculiarità della definizione è che la "parte negativa" non è negativa, anzi, è ovunque positiva o al più nulla. La scomposizione di una funzione qualsiasi in due funzioni sempre non negative si rivela utile in determinati casi.

Relazioni con la funzione originariaModifica

Le parti positiva e negativa sono legati alla funzione originaria tramite queste due relazioni:

 
 

Usando queste due uguaglianze si possono esprimere   e   in un altro modo

 
 

Uso in teoria della misuraModifica

Una funzione definita su uno spazio misurabile è misurabile se e solo se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa. Se dunque   è misurabile, lo è anche il suo valore assoluto, essendo la somma di funzioni misurabili per la relazione precedente. Il viceversa non è in generale vero: se ad esempio

 

dove   è un insieme di Vitali e 1V è la funzione indicatrice dell'insieme V, allora   non è misurabile (poiché non lo è  ), ma il suo valore assoluto sì perché è costantemente uguale a 12.

Parte positiva e parte negativa sono utilizzate inoltre nella definizione di integrale di Lebesgue di una funzione misurabile.

Collegamenti esterniModifica

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