Polinomi di Fibonacci
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In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:
I primi polinomi di Fibonacci sono:
Altre espressioniModifica
La formula esplicita per l'n-esimo polinomio di Fibonacci è:
- ,
dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.
I coefficienti del polinomio n-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:
- si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
- si prende il primo elemento della n-esima riga;
- si prende il secondo elemento della n-esima riga (se esiste);
- da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.
ProprietàModifica
- Valutando i polinomi per , che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci;
- i polinomi di Fibonacci e sono divisibili fra loro se lo sono e ;
- le radici del polinomio sono date dalla seguente formula:
- ;
- se è primo, il polinomio è irriducibile e le sue radici si ottengono moltiplicando per la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.