Polinomi di Fibonacci

In matematica, i polinomi di Fibonacci sono una generalizzazione dei numeri di Fibonacci. Questi polinomi sono definiti ricorsivamente come:

$F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=1\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=2\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{se }}n\geq 3\end{matrix}}\right.$

I primi polinomi di Fibonacci sono:

$F_{1}(x)=1$

$F_{2}(x)=x$

$F_{3}(x)=x^{2}+1$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x$

Altre espressioni

La formula esplicita per l'n-esimo polinomio di Fibonacci è:

$\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\binom {n-k-1}{k}}x^{n-2k-1}$,

dove le parentesi quadre rappresentano la funzione parte intera.

Calcolo dei polinomi di Fibonacci a partire dal triangolo di Tartaglia

I coefficienti del polinomio n-esimo si possono ricavare anche dal triangolo di Tartaglia tramite il seguente algoritmo:

1. si dispongono i numeri del triangolo incolonnati con allineamento a sinistra;
2. si prende il primo elemento della n-esima riga;
3. si prende il secondo elemento della n-esima riga (se esiste);
4. da questo si procede in diagonale, spostandosi di una riga in alto e una colonna a destra, fino a che si trovano elementi.

Proprietà

• Valutando i polinomi per $x=1\$, che è lo stesso che sommare i coefficienti di ciascun polinomio, si ottengono i numeri di Fibonacci;
• i polinomi di Fibonacci $F_{n}(x)$ e $F_{m}(x)$ sono divisibili fra loro se lo sono $n\$ e $m\$;
• le radici del polinomio $F_{n}(x)$ sono date dalla seguente formula:

$2i\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right),\,k=1,2,\ldots ,n-1$;

• se $n\$ è primo, il polinomio $F_{n}(x)$ è irriducibile e le sue radici si ottengono moltiplicando per $\pm 2i$ la parte reale delle radici del corrispondente polinomio ciclotomico.

Voci correlate

• sequenza polinomiale
• successione di Fibonacci
• Leonardo Fibonacci