Polinomio ciclotomico

In matematica, l'-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

dove è la funzione φ di Eulero, e sono quei numeri distinti per cui vale

Formula generaleModifica

Il polinomio   ha come radici tutte le radici  -esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice  -esima primitiva, dove   è un divisore positivo di  . Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

 

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

 

dove   è la funzione di Möbius.

ProprietàModifica

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se   è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di   da   a  :

 .

Valutando l'espressione sopra su un qualunque numero naturale  ,   è una repunit in base  ; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se   è primo e  , allora   oppure  .

Elenco di polinomi ciclotomiciModifica

I primi polinomi ciclotomici sono:

 

È stato dimostrato da A. S. Bang e A. Migotti[1] che se   ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora   ha solo coefficienti tra  ,   e  [2]. Il primo   a non soddisfare queste ipotesi è  , e calcolando   si nota che tra i coefficienti compare un  . Il viceversa non vale:   =   ha solo coefficienti in   ma   è prodotto di tre primi dispari distinti.

NoteModifica

  1. ^ Handbook of Number Theory II, Volume 2
  2. ^ (EN) Martin Isaacs, Algebra: A Graduate Course, AMS Bookstore, 2009, p. 310, ISBN 978-0-8218-4799-2.

Voci correlateModifica

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