Polinomi di Laguerre

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Essi si possono definire con un'espressione alla Rodrigues

.

Essi sono polinomi mutuamente ortogonali rispetto al prodotto interno espresso da

.

La successione dei polinomi di Laguerre è una sequenza di Sheffer.

Polinomi dei gradi più bassiModifica

I primi polinomi sono:

  ,
  ,
  ,
  .

Come integrale di contornoModifica

Questi polinomi possono essere espressi mediante un integrale di contorno dipendente da n

 

relativo a un contorno che compie un giro in verso antiorario intorno all'origine.

Polinomi di Laguerre generalizzatiModifica

La precedente uguaglianza esprimente la ortogonalità equivale ad affermare che se X è una variabile casuale con distribuzione esponenziale

 

allora

  .

La distribuzione esponenziale non è la sola distribuzione gamma. Una successione polinomiale ortogonale rispetto alla distribuzione gamma la cui densità di probabilità è

 

(vedi funzione gamma) si ricava dalla definizione dei polinomi generalizzati di Laguerre:

  .

Questi polinomi talora sono chiamati polinomi associati di Laguerre. I polinomi di Laguerre semplici costituiscono il caso particolare dei polinomi generalizzati relativo ad  

  .

I polinomi associati di Laguerre costituiscono una successione ortogonale sull'intervallo   rispetto alla funzione peso  :

  .

Per valori interi di   la precedente espressione di definizione si può scrivere

  .

Relazione con i polinomi di HermiteModifica

I polinomi generalizzati di Laguerre si presentano nella trattazione dell'oscillatore armonico quantistico, a causa della loro relazione con i polinomi di Hermite che può essere espressa dalle uguaglianze

 

e

 

dove   denota il polinomio di Hermite di grado n.

Relazione con la serie ipergeometricaModifica

I polinomi di Laguerre generalizzati si possono definire come caso particolare di funzione ipergeometrica confluente, come

 

dove   denota il simbolo di Pochhammer.

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