Potenziale di Bessel

In matematica, il potenziale di Bessel è un potenziale (il cui nome deriva da Friedrich Wilhelm Bessel) simile al potenziale di Riesz ma con migliori proprietà di decadimento all'infinito.

Sia $s$ è un numero complesso con parte reale positiva, allora il potenziale di Bessel di ordine $s$ è l'operatore

$(I-\Delta )^{-s/2}$

dove $\Delta$ è l'operatore di Laplace e la potenza frazionaria è definita usando la trasformata di Fourier.

Il potenziale di Yukawa è un caso particolare del potenziale di Bessel con $s=2$ nello spazio tridimensionale.

Rappresentazione nello spazio di Fourier

Il potenziale di Bessel agisce come moltiplicazione nelle trasformate di Fourier: per ogni $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$

${\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.$

Rappresentazioni integrali

Quando $s>0$, il potenziale Bessel su $\mathbb {R} ^{d}$ può essere rappresentato da

$(I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,$

dove il nucleo di Bessel $G_{s}$ è definito per $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ attraverso la formula integrale

$G_{s}(x)u={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{\delta }}-{\frac {\delta }{4\pi }}}}{\delta ^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} \delta .$

Qui $\Gamma$ indica la funzione Gamma. Un altro modo di rappresentare il nucleo di Bessel kernel per $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ è

$G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.$

Comportamento asintotico

Nell'origine, si ha con $\vert x\vert \to 0$,

$G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ se }}0<s<d,$

$G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),\quad {\text{ se }}s=d,$

$G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ se }}s>d.$

In particolare, quando $0<s<d$ il potenziale di Bessel si comporta asintoticamente come il potenziale di Riesz.

All'infinito, vale la seguente stima asintotica per $\vert x\vert \to \infty$,

$G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).$

Bibliografia

• Duduchava, R. (2001) [1994], "Bessel potential operator", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Loukas Grafakos, Modern Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 250, 2nd, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2009, DOI:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316.
• Hedberg, L.I. (2001) [1994], "Bessel potential space", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Bessel potential", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Elias Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8.

Voci correlate

• Potenziale di Riesz
• Calcolo frazionario
• Spazio di Sobolev
• Potenziale di Yukawa