Potenziale di Riesz

Nel calcolo frazionario, il potenziale di Riesz è un potenziale che deve il nome al suo scopritore, il matematico ungherese Marcel Riesz. In un certo senso, il potenziale di Riesz definisce un inverso di una potenza dell'operatore di Laplace nello spazio euclideo. Esso generalizza l'integrale di Riemann–Liouville in più dimensioni.

DefinizioneModifica

Se  , allora il potenziale di Riesz   di una funzione localmente integrabile   su   è la funzione definita come

 

dove la costante è data da

 

Questo integrale singolare è ben definito se all'infinito   decade sufficientemente veloce, in particolare se  Lp(Rn) dove  . In effetti, per ogni   (  è classico, grazie a Sobolev, mentre per   vedere (Schikorra, Spector & Van Schaftingen))), la velocità di decadimento di   e e quella di   sono collegate da una disuguaglianza (la disuguaglianza di Hardy–Littlewood–Sobolev)

 

dove   è la trasformata vettoriale di Riesz. In generale, gli operatori   sono ben definiti per   complesso tale che  .

Più in generale, si può definire il potenziale di Riesz più debolmente come la convoluzione

 

dove   è una funzione localmente integrabile:

 

Pertanto si può definire il potenziale di Riesz ogni volta che   è una distribuzione a supporto compatto. In questo contesto, il potenziale di Riesz di una misura di Borel   con supporto compatto è di principale interesse nella teoria del potenziale, poiché   è allora una funzione subarmonica (continua) fuori dal supporto di  , ed è inferiormente semicontinua su tutto  .

ProprietàModifica

Considerazioni sulla trasformata di Fourier rivelano che il potenziale di Riesz è un moltiplicatore di Fourier.[1] Infatti, si ha

 

e quindi, per il teorema di convoluzione,

 

I potenziali di Riesz soddisfano la seguente proprietà di semigruppo su, per esempio, le funzioni continue rapidamente decrescenti

 

posto che

 

Inoltre, se  , allora

 

In aggiunta si ha, per questa classe di funzioni,

 

NoteModifica

  1. ^ Samko,  section II.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica