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In meccanica quantistica, il teorema di Ehrenfest per un'osservabile è un importante asserto che stabilisce un legame tra la meccanica classica e quantistica, affermando che le leggi del moto per i valori medi degli operatori sono le stesse leggi del moto classiche.
Il teorema si deve al fisico e matematico Paul Ehrenfest.

Indice

Il teoremaModifica

Data un'osservabile A, il teorema di Ehrenfest stabilisce che:

 

L'importanza del teorema si coglie in pieno in una sua formulazione più qualitativa:

«L'evoluzione dei valori di aspettazione di (ogni) osservabile fisica descritta dalla meccanica quantistica coincide con l'evoluzione descritta dalla meccanica classica (cfr. formulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Le ipotesi del teorema sono del tutto generali.

DerivazioneModifica

Per una qualsiasi osservabile fisico, il valor medio in un generico stato rappresentato dalla funzione d'onda ψ(r) è dato dall'integrale:

 

Derivando questa rispetto al tempo, si ottiene:

 

Se applichiamo l'equazione di Schrödinger otteniamo:

 

E considerando il complesso coniugato:

 

Dove   è l'operatore hamiltoniano. Notiamo che   in quanto l'hamiltoniano è un operatore hermitiano. Sostituendo le espressioni trovate nell'equazione precedente:

 

Spesso l'operatore   è indipendente dal tempo ed in questo caso l'ultimo termine dell'espressione soprascritta risulta nullo.

Applicazione agli operatori momento e posizioneModifica

Per hamiltoniana   non dipendente dal tempo, il teorema permette di affermare che le equazioni classiche del moto sono riottenute in valor medio nella meccanica quantistica.

Nel caso in cui si scelga  , il teorema assume infatti la forma:

 

Analogamente, se si pone  , si ottiene:

 

Combinando i due risultati, si ottiene infine:

 

Notiamo che il teorema di Ehrenfest non sostiene, in generale, che i valori di aspettazione degli operatori quantistici evolvono come fanno le controparti classiche.[1] Infatti si avrebbe una corrispondenza con la meccanica classica solo se il valore di aspettazione della forza coincidesse con quella al centro del pacchetto ossia   cosa che in generale è falsa dato che la particella non è localizzata.

Sviluppiamo il membro di destra della precedente equazione nella base delle coordinate:

 

Per ottenere una corrispondenza con il caso classico dobbiamo supporre che   risulti approssimativamente costante dove la funzione d'onda ha un picco:

 

Possiamo concludere quindi affermando che le relazioni della meccanica classica si ritrovano per piccole variazioni del potenziale.

Nella rappresentazione di HeisenbergModifica

Il teorema assume una forma più semplice nella rappresentazione di Heisenberg:

 

Da questa risulta evidente che se   non dipende dal tempo, allora esso commuta con l'hamiltoniano, descrivendo una grandezza conservativa o costante del moto. Tale interpretazione si deve ad Heisenberg.

Un'immediata applicazione di questa è il calcolo della velocità di una particella. Nel caso la velocità sia la derivata rispetto al tempo della sua posizione nel piano cartesiano, è immediato verificare che:

 

NoteModifica

  1. ^ R. Shankar, pag. 184

BibliografiaModifica

  • (EN) R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics SECOND EDITION, Springer, 1994, ISBN 0-306-44790-8.

Voci correlateModifica

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