Apri il menu principale

In matematica, in particolare in algebra lineare, un operatore autoaggiunto è un operatore lineare su uno spazio di Hilbert che è uguale al suo aggiunto. In letteratura si usa talvolta chiamare operatore simmetrico un operatore definito in un sottospazio di uno spazio vettoriale, il cui aggiunto non è in generale simmetrico, e operatore hermitiano un operatore densamente definito in tale spazio. Nel caso di uno spazio finito-dimensionale alcuni autori utilizzano inoltre il termine operatore simmetrico per denotare un operatore autoaggiunto nel caso reale.[1]

Per il teorema di Hellinger-Toeplitz un operatore simmetrico definito ovunque è anche limitato, e se il suo aggiunto è definito ovunque ed è limitato allora l'operatore è limitato. In particolare, se un operatore simmetrico limitato non è definito su tutto lo spazio allora può essere esteso in modo unico ad un operatore definito ovunque.

La matrice che rappresenta un operatore autoaggiunto è una hermitiana, ed in dimensione finita il teorema spettrale asserisce che ogni operatore autoaggiunto di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale i cui coefficienti sono reali.

Gli operatori autoaggiunti sono fondamentali in vari settori della matematica e della fisica, come ad esempio la geometria differenziale, l'analisi funzionale e la meccanica quantistica.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale topologico e sia   un operatore lineare definito su un insieme   ed a valori nel duale topologico continuo   di  .

  è detto simmetrico se:

 

per ogni coppia di elementi  ,   in  .

  è detto hermitiano se è simmetrico e   è denso in  .

Un operatore autoaggiunto è un operatore hermitiano tale che, detto   l'operatore aggiunto di  , si ha   ed in particolare  . Si tratta di un operatore lineare chiuso.

Caso finito-dimensionaleModifica

Sia   uno spazio di Hilbert ed   un operatore limitato definito su tale insieme. Dato  , si definisce il funzionale lineare:

 

tale che:

 

per ogni  .

Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico elemento   tale che:[2]

 

e si definisce un unico l'operatore  , detto operatore aggiunto di  , tale che:[3]

 

ovvero:

 

Si definisce operatore autoaggiunto o hermitiano un operatore tale che  , ovvero:[4]

 

Se si esprime un operatore autoaggiunto in termini della matrice che lo rappresenta, tale matrice è uguale alla sua trasposta complessa coniugata. Questo implica in particolare che gli autovalori di tali operatori sono reali.

Operatori non limitatiModifica

Sia   uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano   e sia   un operatore lineare densamente definito su un dominio   in  .

Nel caso di un operatore   non limitato è necessario tenere conto dei domini. Il dominio dell'operatore aggiunto   di   è:

 

Per ogni elemento   si ponga:

 

Un operatore non limitato è quindi detto autoaggiunto se:

 

In modo equivalente,   è detto simmetrico se l'aggiunto   estende  , ovvero se:[5]

 

ed un operatore autoaggiunto è un operatore simmetrico tale che:

 

Un operatore simmetrico è sempre chiudibile in quanto   è denso in  .

In particolare:

  • Se   è simmetrico,   estende   che a sua volta estende  .
  • Se   è simmetrico e chiuso,   estende  .
  • Se   è autoaggiunto  .

Da questo segue che se   è simmetrico e chiuso, esso è anche autoaggiunto se e solo se   è simmetrico.[6]

Inoltre, un operatore simmetrico   è autoaggiunto se e solo se è chiuso e  . In modo equivalente, l'operatore simmetrico   è autoaggiunto se e solo se l'immagine di   è l'intero spazio  .[7]

Essenziale autoaggiunzioneModifica

Un operatore simmetrico   si dice essenzialmente autoaggiunto se la sua chiusura   è autoaggiunta. In particolare, l'estensione autoaggiunta   di un operatore essenzialmente autoaggiunto   è unica, e si ha  . Inoltre, un operatore   simmetrico è essenzialmente autoaggiunto se e solo se  . In modo equivalente,   è essenzialmente autoaggiunto se e solo se il rango di   è denso in  .[7]

Limitatezza relativaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: operatore limitato.

Un operatore   si dice limitato relativamente all'operatore  , o  -limitato, se:

 

Il più grande limite inferiore dell'insieme dei possibili valori che può assumere   è detto  -limite di  . Si dimostra che se   è autoaggiunto e   è simmetrico e  -limitato con  -limite minore di 1, allora l'operatore   è autoaggiunto. Inoltre, se   è essenzialmente autoaggiunto allora   è essenzialmente autoaggiunto e si ha:

 

dove   indica la chiusura di  .

Proprietà degli operatori autoaggiunti limitatiModifica

Siano   operatori autoaggiunti, e   numeri reali. Dalla linearità del prodotto scalare si ottiene

 

e quindi lo spazio degli operatori autoaggiunti è uno spazio lineare sui reali.

Dalla relazione:

 

si ottiene che   è un operatore autoaggiunto se e solo se   e   commutano.

L'insieme degli autovalori di un operatore autoaggiunto giace sull'asse reale. Per vederlo, si consideri un autovettore   dell'operatore autoaggiunto   associato all'autovalore  . Allora da:

 

segue che   o  . Dato che la seconda possibilità è esclusa in quanto   è un autovettore, ne segue che   è reale.

SpettroModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spettro (matematica) e Autovettore e autovalore.

Se   è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert, si ha:

  •   non ha spettro residuo.
  • Lo spettro   è un sottoinsieme di  ,ovvero gli autovalori sono reali.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Un operatore autoaggiunto   di una C*-algebra è detto positivo se il suo spettro   contiene soltanto numeri non negativi reali. Inoltre è positivo se e solo se esiste un elemento   dell'algebra tale che  . Un operatore positivo in uno spazio di Hilbert (dunque sul campo complesso) è autoaggiunto, ed in particolare normale.[8] Questo non vale su uno spazio vettoriale reale.

Calcolo funzionale continuoModifica

Si dimostra che se   è operatore autoaggiunto definito su  , allora esiste un'unica mappa   definita sullo spazio delle funzioni di Borel su   ed a valori nello spazio degli operatori limitati su   che gode delle seguenti proprietà:[9]

  •   è un *-omomorfismo algebrico, ovvero:
 
  •   è continua, ovvero:
 
  • Se   allora  
  • Se:
 
e la norma   è limitata, allora:
 
e la convergenza è forte.

Grazie alle proprietà mostrate attraverso il calcolo funzionale continuo è possibile associare ad un operatore autoaggiunto un'unica famiglia di proiezioni ortogonali, che costituiscono una misura a valori di proiettore. Tale famiglia di proiettori permette, grazie al teorema spettrale, di diagonalizzare un operatore autoaggiunto, come si mostra nel seguito.

Teorema spettraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema spettrale.

Due operatori   e   definiti sugli insiemi   e   in uno spazio di Hilbert sono unitariamente equivalenti se, dato un operatore unitario  , si verifica:[10]

 

Se   e   sono limitati la prima relazione non è necessaria. Se inoltre   è un operatore autoaggiunto, allora lo è anche  .

Sia   uno spazio di misura numerabilmente additivo e   una funzione misurabile a valori reali su  . Un operatore   della forma:

 

il cui dominio è lo spazio delle funzioni   per le quali il membro di destra della precedente relazione è in   è un operatore di moltiplicazione.

Il teorema spettrale afferma che ogni operatore di moltiplicazione è un operatore autoaggiunto (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è unitariamente equivalente ad un operatore di moltiplicazione.

Nel caso finito dimensionale, sia   un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale   di dimensione   sul quale è definito un prodotto scalare definito positivo. Allora   è autoaggiunto se e solo se esiste una base ortonormale di   fatta di autovettori per  .[11] L'endomorfismo   è quindi diagonalizzabile. Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, afferma che ogni matrice simmetrica è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.[12]

Come conseguenza del teorema, per ogni matrice simmetrica   esistono una matrice ortogonale   ed una matrice diagonale   tali per cui:[13]

 

In particolare, gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali.

Caso infinito-dimensionaleModifica

Il caso infinito-dimensionale costituisce una generalizzazione del caso precedente. Nel caso di operatori limitati, il teorema spettrale afferma che un operatore limitato e autoaggiunto   definito su uno spazio di Hilbert   è un operatore di moltiplicazione.

In modo equivalente, esiste una famiglia di misure   sullo spettro   di   ed esiste un operatore unitario:

 

tali che:[14]

 

con:

 

Una tale scrittura di   è detta rappresentazione spettrale dell'operatore.

Come corollario, segue che esiste una misura   su uno spazio di misura   ed esiste un operatore unitario:

 

tali che:[15]

 

per una qualche funzione misurabile limitata ed a valori reali   su  .

Nel caso in cui   è un operatore non limitato e autoaggiunto su uno spazio di Hilbert separabile   con dominio  , il teorema afferma che esistono uno spazio di misura  , dove   è una misura finita, un operatore unitario:

 

ed esiste una funzione   misurabile quasi ovunque tali che:[16]

  •   se e solo se:
 
  • Se   allora:
 

Molti operatori lineari importanti che si incontrano in analisi, come gli operatori differenziali, non sono limitati. In particolare, ogni operatore differenziale a coefficienti costanti è unitariamente equivalente a un operatore di moltiplicazione, e l'operatore unitario che implementa questa equivalenza è la trasformata di Fourier.

Decomposizione spettraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di   sono ortogonali e in somma diretta:

 

Equivalentemente, se   è la proiezione ortogonale su  , si ha:

 

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

Caso infinito-dimensionaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: misura a valori di proiettore.

Sia   un operatore autoaggiunto limitato. Si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

 

definita sullo spettro   di  , in cui   è la funzione indicatrice. Tale misura può essere associata ad   nel seguente modo:

 

per ogni funzione misurabile limitata  , e in tal caso si ha:

 

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di  .[17]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale)   a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare   tramite una misura a valori di proiettore limitata   allora   è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad  . Ogni operatore limitato autoaggiunto   può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata  .

Operatori non limitatiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Cayley.

Si consideri un operatore autoaggiunto   non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley   associata ad  :

 

è possibile definire, a partire da  , una misura a valori di proiettore   nel modo seguente:

 

L'insieme   è un borelliano contenuto nello spettro (reale)   di  , e   è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su  .

Si dimostra che se la funzione identità, definita su  , è di classe   rispetto alla misura  , allora   definisce una misura a valori di proiettore su  .

In particolare, è possibile scrivere:

 

Anche nel caso di   non limitato la corrispondenza tra   ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 240.
  2. ^ S. Lang, Pag. 197.
  3. ^ S. Lang, Pag. 198.
  4. ^ S. Lang, Pag. 199.
  5. ^ Reed, Simon, Pag. 255.
  6. ^ Reed, Simon, Pag. 256.
  7. ^ a b Reed, Simon, Pag. 257.
  8. ^ Reed, Simon, Pag. 195.
  9. ^ Reed, Simon, Pag. 225.
  10. ^ (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  11. ^ S. Lang, Pag. 245.
  12. ^ S. Lang, Pag. 248.
  13. ^ S. Lang, Pag. 246.
  14. ^ Reed, Simon, Pag. 227.
  15. ^ Reed, Simon, Pag. 221.
  16. ^ Reed, Simon, Pag. 261.
  17. ^ Reed, Simon, Pag. 234.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) L.A. Lyusternik, V.I. Sobolev, Elements of functional analysis , Wiley (1974)
  • (EN) N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space , 1–2 , Pitman (1981)
  • (EN) F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85119806
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica