Principio di minimo vincolo

Il principio del minimo vincolo, enunciato nel 1829 da Carl Friedrich Gauss, è un principio variazionale della meccanica razionale, ottenuto tramite metodo dei minimi quadrati, la cui formulazione è equivalente principio di d'Alembert. Esso riveste un ruolo rilevante all'interno della meccanica lagrangiana e, qualitativamente, è simile al principio di minima azione, tuttavia quest'ultimo rappresenta una condizione di tipo estremale assoluto, mentre il principio del minimo vincolo è un principio di minimo locale.

DefinizioneModifica

Il principio del minimo vincolo afferma che le reali accelerazioni di un sistema meccanico formato da   masse si ottengono minimizzando la seguente quantità:

 

dove la particella j-esima ha massa  , posizione   e forza applicata non vincolata   agente su di essa. La corrispondente accelerazione   soddisfa il vincolo imposto, che generalmente dipende dallo stato del sistema, individuato dalla coppia  .

Ciò si ricollega al fatto che quando sul sistema agiscono le forze  , e le relative reazioni vincolari  , la cui risultante è  , il sistema sperimenterà un'accelerazione pari a  .

Principio di minima curvatura di HertzModifica

Il principio della minima curvatura di Hertz è un caso particolare del principio di Gauss e della formulazione di Jacobi del principio della minima azione. Esso prevede non esistano né forze esterne applicate né interazioni, le quali possono essere espresse attraverso l'energia potenziale, e che tutte le masse siano uguali. Senza perdita di generalità, le masse possono essere imposte unitarie. Con queste condizioni, la quantità minimizzata di Gauss è pari a:

 

L'energia cinetica   si conserva anche in questo caso:

 

Nello spazio  -dimensionale   è definito come:

 

pertanto, la conservazione dell'energia può essere riscritta come:

 

Dividendo   per   si ottiene un'altra quantità minimizzabile:

 

Poiché   è la curvatura locale della traiettoria nello spazio  -dimensionale, minimizzare   equivale a trovare la traiettoria di minima curvatura, ovvero la geodetica, che rispetti i vincoli imposti.

Equazione di Udwadia-KalabaModifica

L'equazione di Udwadia-Kalaba, sviluppata nel 1992 da Firdaus E. Udwadia e Robert E. Kalaba,[1] è un metodo per ricavare le equazioni del moto,[2] basato sul principio di minimo vincolo di Gauss. Essa è in grado di generalizzare le reazioni vincolari che non obbediscono al principio di d'Alembert.[3][4][5]

DescrizioneModifica

Si prenda un sistema con   gradi di libertà e   gradi di vincolo, descritto da   coordinate generalizzate, il cui spazio delle fasi è generato dalla coppia  . Note le condizioni iniziali  , si ha che l'equazione di Udwadia-Kalaba è:

 

dove   è la matrice della massa, ovvero una matrice   simmetrica e semidefinita positiva, mentre   è la somma di tutte le forze generalizzate agenti sul sistema e   la somma di tutte le relative reazioni vincolari.

Se la matrice   è definita positiva, è possibile invertirla per ricavare direttamente le accelerazioni generalizzate, inoltre si ha che:[1][6]

 

dove   è la matrice   e   l'm-vettore, tali che l'equazione di Udwadia-Kalaba possa essere riscritta come  , mentre la notazione   indica la pseudoinversa di Moore-Penrose. Il termine   tiene conto della presenza di vincoli non ideali, pertanto, detta   la matrice identità, esso è pari a:

 

dove   è il vettore che, generalizzando il principio di d'Alembert, tiene conto della non-idealità dei vincoli. Infatti si ha che:

 

Se   è semidefinita positiva, potrebbe risultare singolare.[7][8] Inoltre, le accelerazioni generalizzate potrebbero non essere uniche a meno che non abbia rango completo, ovvero pari a  , la matrice  

 

Ma poiché le accelerazioni osservate nei sistemi meccanici in natura sono sempre uniche, la condizione sul rango risulta necessaria e sufficiente per ottenere univocamente le accelerazioni generalizzate del sistema vincolato in ogni istante di tempo. Pertanto, quando   ha rango completo, le equazioni di movimento del sistema vincolato sono determinate in modo univoco, creando un sistema ausiliario non vincolato, attraverso la matrice   e il vettore  , tali che[8]

 

dove

 

NoteModifica

  1. ^ a b F. E. Udwadia e R. E. Kalaba, A new perspective on constrained motion (PDF), in Proceedings of the Royal Society of London, Series A, vol. 439, n. 1906, 1992, pp. 407–410, Bibcode:1992RSPSA.439..407U, DOI:10.1098/rspa.1992.0158.
  2. ^ Udwadia, F. E. e Kalaba, R. E., Analytical Dynamics: A New Approach, Cambridge, Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-04833-8.
  3. ^ F. E. Udwadia e R. E. Kalaba, On the Foundations of Analytical Dynamics (PDF), in International Journal of Nonlinear Mechanics, vol. 37, n. 6, 2002, pp. 1079–1090, Bibcode:2002IJNLM..37.1079U, DOI:10.1016/S0020-7462(01)00033-6.
  4. ^ B. Calverley, Constrained or Unconstrained, That Is the Equation, in USC News, 2001.
  5. ^ F. Udwadia e R. Kalaba, What is the General Form of the Explicit Equations of Motion for Constrained Mechanical Systems? (PDF), in Journal of Applied Mechanics, vol. 69, n. 3, 2002, pp. 335–339, Bibcode:2002JAM....69..335U, DOI:10.1115/1.1459071.
  6. ^ F.E. Udwadia e R.E. Kalaba, On motion (PDF), in Journal of the Franklin Institute, vol. 330, n. 3, 1993, pp. 571–577, DOI:10.1016/0016-0032(93)90099-G.
  7. ^ F.E. Udwadia e P. Phohomsiri, Explicit equations of motion for constrained mechanical systems with singular mass matrices and applications to multi-body dynamics (PDF), in Proceedings of the Royal Society of London, Series A, vol. 462, n. 2071, 2006, pp. 2097–2117, Bibcode:2006RSPSA.462.2097U, DOI:10.1098/rspa.2006.1662.
  8. ^ a b F.E. Udwadia e A.D. Schutte, Equations of motion for general constrained systems in Lagrangian mechanics (PDF), in Acta Mechanica, vol. 213, n. 1, 2010, pp. 111–129, DOI:10.1007/s00707-009-0272-2.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica