Spazio pseudometrico

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In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.

DefinizioneModifica

Uno spazio pseudometrico   è un insieme   dotato di una funzione

 

chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni   in  :

  1.  .
  2.   (simmetria)
  3.   (disuguaglianza triangolare)

Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che   sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti   e  .

EsempiModifica

Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma   su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente

 

Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.

QuozienteModifica

Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.

Due punti dello spazio pseudometrico   sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza

 

risulta ancora ben definita anche al quoziente.

BibliografiaModifica

  • (EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
  • (EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4

Voci correlateModifica

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