In algebra lineare, una seminorma è una generalizzazione del concetto di norma che, a differenza di quest'ultima, può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

La nozione di seminorma è utilizzata in vari ambiti dell'analisi funzionale. Una famiglia numerabile di seminorme, per esempio, consente di indurre una topologia su uno spazio di Fréchet.

Definizione

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Una seminorma definita su uno spazio vettoriale   sul campo  , che può essere quello dei numeri reali o complessi, è una funzione:

 

che verifica la condizione di omogeneità:

 

e la disuguaglianza triangolare:[1]

 

Spazio localmente convesso

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Uno spazio vettoriale topologico   nel quale è definita una famiglia   di seminorme è uno spazio localmente convesso se:

 

Uno spazio localmente convesso è infatti definito come uno spazio vettoriale   nel quale è definita una famiglia di seminorme  . La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Una base di intorni del punto   per tale topologia si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito   di  :

 

Si dimostra che se uno spazio localmente convesso è metrizzabile, allora è possibile definire una topologia generata da una famiglia numerabile di seminorme ed il punto 0 ha una base numerabile di intorni.[2] Uno spazio localmente convesso completo e metrizzabile è detto spazio di Fréchet.[3]

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 125.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 131.
  3. ^ Reed, Simon, Pag. 132.

Bibliografia

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  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0-07-054236-8.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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