Spazio uniforme

In topologia, uno spazio uniforme è uno spazio topologico dotato di una struttura uniforme, che consente di definire proprietà uniformi, come la completezza, la continuità uniforme e la convergenza uniforme.

Negli spazi uniformi è possibile definire alcune nozioni di vicinanza relativa e vicinanza tra punti, che non è possibile stabilire con il solo utilizzo della struttura topologica. Ad esempio, dati i punti , , , , è possibile stabilire che è più vicino ad di quanto sia vicino a . Gli spazi uniformi possono essere visti come una generalizzazione degli spazi metrici e dei gruppi topologici, e permettono la definizione di gran parte dei concetti dell'analisi matematica.

La struttura uniforme, e gli altri concetti ad essa collegati, fu definita esplicitamente da André Weil nel 1937, mediante l'utilizzo di pseudometriche. Successivamente Nicolas Bourbaki fornì la definizione in termini di entourage e John Tukey la diede in termini di ricoprimenti uniformi. Queste definizioni sono descritte nei paragrafi sottostanti[1].

Definizione formaleModifica

La struttura uniforme di uno spazio può essere definita in tre modi: attraverso gli entourage, sottoinsiemi dello spazio principale che svolgono una funzione analoga a quella degli aperti di una topologia, con l'utilizzo di una pseudometrica, o ancora tramite una particolare tipologia di ricoprimenti dello spazio stesso; come viene mostrato nel seguito, queste tre definizioni sono sostanzialmente equivalenti, ed è possibile far corrispondere le strutture uniformi ottenute nei vari casi.

EntourageModifica

Uno spazio uniforme   è un insieme   dotato di una famiglia di sottoinsiemi (detti entourage) del prodotto cartesiano   che soddisfano le seguenti proprietà:

  1. ogni entourage contiene la diagonale:  ;
  2. chiusura rispetto all'inclusione: se   e  , allora  ;
  3. chiusura rispetto all'intersezione: se   e   appartengono a  , allora vi appartiene  ;
  4. se  , allora esiste un entourage   tale che   e   implicano  ;
  5. se  , allora anche   appartiene a  .

Se manca l'ultima proprietà, lo spazio è detto quasi uniforme.

Intuitivamente, due punti appartenenti al medesimo entourage presentano un determinato grado di vicinanza; due punti sono tanto più vicini quanti più entourage hanno in comune. Con questa interpretazione, le proprietà sopra date possono essere così descritte:

  1. ogni punto è vicino a sé stesso;
  2. un insieme di punti più grande definisce una grado di prossimità minore;
  3. l'intersezione tra due gradi di vicinanza definisce un nuovo grado di vicinanza;
  4. dato un certo grado di prossimità, ne esiste uno "due volte" più stretto;
  5. se   è vicino a  ,   è vicino a  .

I punti appartenenti ad un entourage   sono detti U-vicini; se tutti i punti di un dato insieme   sono U-vicini (ovvero  ),   è detto U-piccolo.

Nel caso di uno spazio metrico  , gli entourage sono definiti come l'insieme delle coppie di punti la cui distanza è minore di un numero reale prefissato:

 .

L'insieme dei punti "vicini" ad un punto fissato   appartenente all'entourage   è di solito scritto come

 

Un sistema fondamentale di entourage è una sottofamiglia   di entourage tale che ogni entourage della struttura uniforme contiene un entourage di  ; per la proprietà 2, un sistema fondamentale è quindi in grado di definire l'intera struttura uniforme.

Date due strutture uniformi   e  , se   si dice che   è più fine di  .

PseudometricaModifica

Uno spazio uniforme è definibile attraverso un sistema di pseudometriche[2][3] nel seguente modo: data una pseudometrica  , l'insieme dei punti la cui pseudodistanza è inferiore o uguale al numero reale   è l'immagine inversa dell'intervallo reale  :

 .

L'insieme di tutte le immagini inverse per una data pseudometrica forma un sistema fondamentale di entourage. Se consideriamo una famiglia di pseudometriche  , le intersezioni finite di tutti gli entourage formano a loro volta un sistema fondamentale.

Se la famiglia di pseudometriche è numerabile, questo sistema è equivalente a quello generato da una singola pseudometrica; nel caso di una famiglia finita, la pseudometrica generatrice è l'inviluppo superiore di tutte le pseudometriche (ovvero la pseudometrica generata prendendo, punto per punto, la pseudometrica della famiglia con il valore maggiore).

Più in generale, ogni struttura uniforme può essere generata tramite una famiglia di pseudometriche, eventualmente non numerabile.

Ricoprimenti uniformiModifica

È possibile definire uno spazio uniforme, attraverso alcune particolari tipologie di ricoprimenti, detti ricoprimenti uniformi. Un ricoprimento di un insieme   è una famiglia di insiemi   la cui unione contiene  :

 .

Dati due ricoprimenti   e  , è possibile stabilire una relazione d'ordine tra di loro nel seguente modo:

 .

Se si verifica la condizione sopra, si dice che il ricoprimento   è un raffinamento di  . Uno spazio uniforme   è uno spazio   dotato di una famiglia di ricoprimenti   che forma un filtro rispetto all'ordinamento sopra definito, ovvero i ricoprimenti della famiglia soddisfano le seguenti proprietà:

  •   è un ricoprimento uniforme;
  • se   e   è un ricoprimento uniforma, lo è anche  ;
  • se   è   sono ricoprimenti uniformi, esiste un ricoprimento uniforme   che li raffina entrambi.

Dato uno spazio uniforme definito tramite entourage, definiamo uniforme un ricoprimento   se esiste un entourage   tale per cui, per ogni  , esiste   per cui  ; tutti i ricoprimenti così generati costituiscono uno spazio uniforme secondo la definizione data sopra.

Inversamente, dato uno spazio uniforme definito tramite ricoprimenti, sono entourage tutti i soprainsiemi di

 ,

dove   è un ricoprimento uniforme.

EsempiModifica

Una categoria molto ampia di spazi uniformi sono gli spazi metrici: ogni metrica è a fortiori una pseudometrica, e quindi permette di definire una struttura uniforme. Differenti metriche possono avere la medesima struttura uniforme; ad esempio moltiplicando una metrica per una costante, la struttura uniforme indotta non varia.

È comunque possibile trovare metriche che inducono differenti strutture uniformi, ma uguali strutture topologiche; ad esempio, considerando su   le due metriche:

 

inducono la stessa topologia, ma differenti strutture uniformi, in quanto l'insieme   è un entourage nella struttura uniforme indotta da  , ma non in quella indotta da  .

I gruppi topologici costituiscono un'altra categoria di spazi uniformi[4]; dato un gruppo topologico  , gli entourage sono tutti i sottoinsiemi di   che contengono l'insieme:

 ,

dove   è un intorno dell'elemento neutro di  .

La struttura uniforme così definita è detta uniformità destra, in quanto per ogni elemento   la moltiplicazione a destra   è uniformemente continua.

Spazi topologici e spazi uniformiModifica

Ogni spazio uniforme si può dotare di una topologia, definendo come aperto qualunque sottoinsieme   tale che per ogni   esiste un entourage   per cui   è contenuto in  . La topologia così definita è detta indotta dalla uniformità; una topologia che coincide con quella indotta dalla struttura uniforme è detta compatibile con essa. In generale una data topologia può essere compatibile con più di una struttura uniforme.

Gli spazi topologici la cui topologia è compatibile con una struttura uniforme sono detti uniformizzabili; essi coincidono con gli spazi completamente regolari.

Se lo spazio è uniformizzabile, le tre seguenti proprietà sono equivalenti:

Proprietà legate alla struttura uniformeModifica

Numerose importanti proprietà possono essere definite attraverso la struttura uniforme di uno spazio; tra queste la continuità uniforme e la completezza.

Continuità uniformeModifica

Una funzione tra spazi uniformi è detta uniformemente continua se le controimmagini degli entourage (o dei ricoprimenti uniformi) o sono ancora degli entourage (o dei ricoprimenti uniformi). Un isomorfismo uniforme è una funzione uniformemente continua dotata di una inversa uniformemente continua.

La continuità uniforme svolge per gli spazi uniformi un ruolo analogo a quello della continuità per gli spazi topologici; una funzione uniformemente continua tra spazi uniformi conserva infatti le proprietà uniformi degli spazi. Una funzione uniformemente continua è sempre continua rispetto alla topologia indotta.

CompletezzaModifica

La nozione di completezza di uno spazio metrico può essere estesa agli spazi uniformi; invece della convergenza delle successioni di Cauchy viene richiesta la convergenza di altre entità matematiche, dette filtri di Cauchy, o reti di Cauchy.

Un filtro di Cauchy è un filtro che contiene elementi arbitrariamente piccoli; più precisamente, per un entourage   esiste un elemento   del filtro tale che  .

Un filtro convergente è sempre un filtro di Cauchy, mentre non vale in generale il viceversa; gli spazi in cui ogni filtro di Cauchy è anche convergente sono detti spazi uniformi completi. Tra questi vanno annoverati gli spazi di Hausdorff compatti.

Data una funzione uniformemente continua   da un insieme   denso in   spazio uniforme, a uno spazio uniforme completo  , è possibile estendere in maniera unica la funzione su tutto  , mantenendone la continuità uniforme.

Completamento di uno spazio uniformeModifica

Analogamente agli spazi metrici, esiste un completamento di Hausdorff per qualunque spazio uniforme  : ovvero, esiste uno spazio di Hausdorff completo uniforme   e una mappa uniformemente continua   tale che per ogni mappa   da   in uno spazio di Hausdorff completo uniforme   esiste una mappa uniformemente continua   tale che  .

Il completamento di Hausdorff   è unico a meno di un omeomorfismo. Una possibile costruzione si ottiene prendendo l'insieme dei filtri di Cauchy minimali su  ; la mappa   fa corrispondere ciascun punto   al filtro degli intorni  , che è un filtro di Cauchy minimale. L'immagine   è densa in  ; se   è di Hausdorff,   è iniettiva e   è omeomorfo a  . Altrimenti, si può considerare lo spazio quoziente ottenuto identificando tutti i punti   e   per cui  , che è sempre di Hausdorff e omeomorfo a  .

La struttura uniforme di   è così definita: per ogni entourage   che sia simmetrico (ovvero  ), sia   l'insieme di tutte le coppie di filtri di Cauchy che hanno in comune almeno un elemento V-piccolo; l'insieme di tutti i   è un sistema fondamentale di entourage.

NoteModifica

  1. ^ Bourbaki, Capitolo 2.
  2. ^ Gli spazi dotati di pseudometrica sono anche detti spazi di gauge.
  3. ^ Bourbaki, Capitolo 9.
  4. ^ Bourbaki, Capitolo 3.

BibliografiaModifica

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