Apri il menu principale

In topologia generale, un punto isolato per un insieme è un punto che non ha altri punti di "vicini".

Indice

DefinizioneModifica

Un punto   appartenente ad un sottoinsieme   in uno spazio topologico è un punto isolato di   se esiste un intorno di   non contenente altri punti di  .

Spazio metrico o euclideoModifica

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),   è un punto isolato di   se esiste una palla aperta centrata in   che non contiene nessun elemento di   diverso da  .

Definizioni equivalentiModifica

In modo equivalente, un punto   di   non è un punto isolato se e solo se   è un punto di accumulazione per  .

Insieme discretoModifica

Un insieme   costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e   è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme   dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfettoModifica

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

EsempiModifica

Ogni elemento di   è isolato in   infatti: Sia   e sia   un intorno di   e di raggio  .
Allora dalla definizione abbiamo che   è un punto isolato in  .
Poiché per   risulta che  , deduciamo che   è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

  • Per l'insieme  , il punto   è un punto isolato.
  • Per l'insieme  , ciascun punto   è un punto isolato, tranne il punto   che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme   vicini a   quanto desiderato.

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica