Punto di diramazione

In analisi complessa, un punto di diramazione (o di ramificazione) di una funzione polidroma (o multifunzione) è un punto del dominio in cui la funzione è discontinua se ristretta a una curva che gira attorno al punto in un intorno arbitrariamente piccolo del punto.[1] Le funzioni polidrome sono studiate rigorosamente con le superfici di Riemann, e la definizione formale di punto di diramazione usa questo concetto.

TagliModifica

Grosso modo, i punti di diramazione sono i punti nei quali i vari rami della multifunzione si incontrano. Per esempio, la funzione radice quadrata ha due rami: uno con il segno positivo, e uno con il negativo. Un taglio è una curva nel piano complesso tale che è possibile definire un singolo ramo analitico di una multifunzione nel piano senza quella curva. I tagli sono solitamente, ma non sempre, fatti tra coppie di punti di diramazione.

I tagli permettono di lavorare con un insieme di funzioni a valore singolo "incollate" insieme lungo i tagli, invece che con una multifunzione.

Per esempio, per rendere la funzione   a valore singolo, si fa un taglio lungo l'intervallo   dell'asse reale, che connette i due punti di diramazione della funzione.

La stessa idea può essere applicata alla funzione radice quadrata   ma in questo caso si considera il "punto all'infinito" come "secondo punto di diramazione" da congiungere con   questo si può fare prendendo come taglio il semiasse reale negativo.

La tecnica dei tagli sembra arbitraria (e lo è), ma è molto utile, ad esempio nella teoria delle funzioni speciali. Una spiegazione invariante dei tagli è sviluppata nella teoria delle superfici di Riemann.

Logaritmo complessoModifica

 
Grafico della parte polidroma immaginaria della funzione logaritmo complesso, dove si vedono i rami. Mentre un numero complesso z gira intorno all'origine, la parte immaginaria del logaritmo va su e giù. Questo rende l'origine un punto di diramazione della funzione.

Un noto esempio di multifunzione è il logaritmo di un numero complesso. Un numero complesso z è esprimibile, con la formula di Eulero come  dove |z| è il modulo di z, e θ è l'argomento di z. Allora:

 

C'è ambiguità nella definizione dell'angolo θ, perché se sommiamo a θ un qualsiasi multiplo intero di 2π si ottiene un altro angolo, cioè un altro valore della funzione. Un ramo del logaritmo è una funzione continua che dà il logaritmo di z per ogni z in un insieme aperto connesso nel piano complesso.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Mark J. Ablowitz e Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53429-1., p. 46

BibliografiaModifica

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