Regola della funzione inversa

In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

DefinizioneModifica

Se definita, la derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto. Più precisamente, se   è una funzione invertibile, se  , se   è continua nel punto   e se esiste  , allora   è derivabile in   e vale:

 

dove   e   sono notazioni che indicano la derivata e   indica la parte interna di  

Per l'esistenza della funzione inversa è sufficiente che la funzione sia strettamente monotona nel suo dominio. Per la continuità della funzione inversa è sufficiente supporre che la funzione sia strettamente monotona su un intervallo.

La richiesta   è necessaria per garantire che l'espressione sia ben definita. Basti pensare, ad esempio, alla funzione   La funzione è monotona strettamente crescente, ma la sua inversa non è derivabile in  

Anche la richiesta che   sia continua nel punto   è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione   invertibile e con derivata in   uguale a  , la cui inversa nel punto   non è continua (e quindi neppure derivabile).

DimostrazioneModifica

Poniamo  ,   per semplicità. Allora:

 .

EsempioModifica

Sia  , con  . Dunque   e  .

Voci correlateModifica

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