La controimmagine di un insieme U è il sottoinsieme dei punti di X che vengono associati a punti di U da

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

DefinizioneModifica

Data una funzione f : AB, la controimmagine di un insieme B1B tramite f è un sottoinsieme di  , indicato con  [1] tale che   appartiene a   se e solo se   appartiene a  . In modo equivalente:

 

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:

 

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati  , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

ProprietàModifica

Considerata una funzione f : AB, valgono le seguenti proprietà:

  •  
  • Se  , allora  

In B2 potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B1.

  • La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli:  
    • In generale:  
  • La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli:  [2]
    • In generale:  
  • La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli:  
  • Per ogni   sottoinsieme del dominio, allora   e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A1 ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A1. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.

  • Per ogni   sottoinsieme del codominio, allora   e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in B1 che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.

  • Se    e     allora  

EsempiModifica

Sia   tale che  . Allora  

NoteModifica

  1. ^ L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi.
  2. ^ Questa proprietà e la precedente caratterizzano   come un omomorfismo di reticoli.

BibliografiaModifica

  • Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
  • Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlateModifica

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