Regola del prodotto

regola di derivazione

Nell'analisi matematica, la regola del prodotto o regola di Leibniz è una regola di derivazione che nella sua forma generale permette di calcolare qualsiasi derivata prima del prodotto di funzioni con tutte derivabili:

Enunciato semplice

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La derivata prima del prodotto di due funzioni derivabili in   è uguale al prodotto della prima per la derivata della seconda più il prodotto della seconda funzione per la derivata della prima, che nella notazione di Lagrange si esprime:

 

Dimostrazione

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Applicando la definizione di derivata ed ipotizzando le funzioni   e   derivabili in  :

 

Ora sottraiamo e sommiamo la quantità  :

 

Raccogliendo   e   si ottiene

 

Siccome le funzioni   e   sono, per ipotesi, derivabili in  , quindi è qui anche continua sia  che  . Si conclude che:

 
 

e quindi:

 

come volevasi dimostrare.

La scoperta di Leibniz

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La scoperta di questa regola è stata attribuita al matematico Gottfried Leibniz - da cui il nome - che la dimostrò utilizzando il differenziale, utilizzando una sua particolare notazione, come di seguito riportata, in cui   e   sono due funzioni di  . Allora il differenziale di   è

 

Siccome il termine   è "trascurabile" in quanto differenziale del second'ordine, Leibniz concluse che

 

Questo è identico alla forma differenziale della regola del prodotto. Se si divide entrambi per il differenziale  , si ottiene

 

che corrisponde nella notazione di Lagrange a:

 

Funzioni costanti

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Un caso particolare notevole è la derivata di una funzione   per una costante  :

 

ma   essendo derivata di una costante allora, per l'annullamento del prodotto, rimane solo il primo termine; quindi

 

Generalizzazioni

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Prodotto multiplo

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La regola può essere generalizzata anche per una collezione di   funzioni derivabili,   ,e dimostrabile con un processo simile a quello già visto ottenendo la regola generale:

La derivata del prodotto di n funzioni è uguale alla sommatoria di n addendi ognuno dei quali contenente la derivata dell'n-esima funzione e le restanti non derivate.
 

più succintamente introducendo la produttoria e considerando le funzioni   prive di zeri:

 

Applicazione polinomiale

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Dall'applicazione della precedente si può dimostrare per induzione che

 

per   intero positivo:[1]   è una produttoria di   funzioni uguali tutte uguali a  , per cui, per la generalizzazione, si otterrà una sommatoria di   elementi tutti uguali tra loro:

 

Applicando ora l'ipotesi induttiva del principio di induzione per   e ricordando che  , possiamo scrivere:

 

Il risultato segue ricordando che  

Derivate successive

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Le derivate successive  -sime del prodotto di due funzioni sono:

 [2]

dove   indica il coefficiente binomiale.

Applicazione polinomiale

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Proviamo a derivare due volte la funzione  , usando il fatto che la derivata di   è sempre uguale a sé stessa.

 

Per quanto riguarda la derivazione di una funzione a esponente naturale:

 
  1. ^ per   non intero e positivo occorre ricorrere ad altre dimostrazioni
  2. ^ Il riferimento apicale essendo tra parentesi non indica un esponente ma l'ordine di derivazione secondo la notazione di Lagrange

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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