Fattore di integrazione

concetto matematico

In matematica, un fattore di integrazione è una funzione utilizzata per facilitare la soluzione di un'equazione differenziale, solitamente ordinaria. Consente inoltre di rendere esatto un differenziale non esatto, in modo che sia possibile integrarlo ottenendo un campo scalare. Ad esempio, spesso in termodinamica la moltiplicazione per un fattore di integrazione permette di rendere l'entropia un differenziale esatto.

Equazione differenziale lineare del primo ordineModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione differenziale lineare.

Si consideri un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine:

 

Il fattore di integrazione per una tale equazione è una funzione   data da:[1]

 

che moltiplicata per tutti i termini della relazione:

 

rende il membro di sinistra, attraverso la regola del prodotto invertita, esprimibile come una singola derivata rispetto a  :

 

sicché l'equazione si semplifica nel seguente modo:

 

Integrando allora rispetto a   si ha:

 

(dove   è una costante arbitraria) e spostando l'esponenziale al membro di destra si ottiene una soluzione generale della ODE:

 

Se l'equazione è omogenea, ovvero  , si ha:

 

EsempioModifica

Data l'equazione differenziale:

 

in tal caso  , poiché:

 

Moltiplicando per   si ottiene:

 

e dalla regola del quoziente invertita:

 

ovvero:

 

che fornisce:

 

Uso generaleModifica

Si consideri l'equazione non lineare del secondo ordine:

 

e sia   un fattore di integrazione:

 

Attraverso la regola della catena si possono esprimere entrambi i membri come una derivata:

 

Quindi:

 

Da cui si ottiene, separando le variabili:

 

NoteModifica

  1. ^ MathWorld - Integrating Factor, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 31-01-2013.

BibliografiaModifica

  • (EN) Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 526-529, 1953.

Voci correlateModifica

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