Serie di Grandi

La somma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ..., chiamata anche serie di Grandi, scoperta da Guido Grandi nel 1703, è una serie simile alla serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · e alla serie 1 + 1 + 1 + 1 + · · · (o serie sommativa unitaria).

Essa si può rappresentare con la formula: $\qquad \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

La serie di Grandi è irregolare, nel senso che la successione delle sue somme parziali non possiede limite. Tuttavia la sua somma di Cesaro (che è un'estensione del concetto classico di serie convergente basata sulle somme parziali) è ${\frac {1}{2}}$. In modo informale (e senza tenere effettivamente conto dell'applicabilità di metodi algebrici a serie non convergenti), tale serie può essere riscritta sia come:

$S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots$

dove l'evidente risultato della sommatoria è 0, sia come:

$S=1-(1-1)-(1-1)-\ldots$

dove il risultato della sommatoria è evidentemente 1. Esiste però un terzo modo per scrivere la serie:

$S=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-S$

da cui:

$S\ =1-S;\quad 2\ S\ =1;\quad S\ ={\frac {1}{2}}.$

Quindi, quello che intuitivamente ci si aspetta dalla serie di Grandi è che la sua somma, che non esiste, dovrebbe essere ${\frac {1}{2}}$. E questo è quello che la somma di Cesaro coglie estendendo il concetto di convergenza.

Guido Grandi, nel suo libro Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita, ottenne il terzo risultato a partire da una variante della serie geometrica, utilizzando lo sviluppo binomiale

${\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots$

con $x=1$.

Definizioni rigorose della somma

Con la definizione classica di somma della serie come limite delle somme parziali, la serie di Grandi non converge ed è oscillante.

Tuttavia, esistono definizioni generalizzate della somma di una serie, come la già richiamata somma di Cesaro, la somma di Abel, la somma di Eulero, che forniscono il valore 1/2.

In particolare, la somma di Cesaro definisce la somma della serie come il limite della media delle somme parziali, che è appunto 1/2.

Bibliografia

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1922. ISBN 0-486-66165-2
• Harry Davis, Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, 1989. ISBN 0-486-65973-9
• Keith Devlin, Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library, 1994. ISBN 0-7167-6022-3
• Morris Kline, Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983),

Voci correlate

• Luigi Guido Grandi
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Serie sommativa unitaria
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...