Simbolo di Kronecker

Disambiguazione – Se stai cercando la funzione di Kronecker, vedi Delta di Kronecker.

In teoria dei numeri, il simbolo di Kronecker, scritto come o , è una generalizzazione del simbolo di Jacobi a tutti i numeri interi È stato introdotto da Leopold Kronecker nel 1885[1].

Definizione

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Sia   un numero intero diverso da zero, con scomposizione in fattori primi

 

dove   è un'unità (cioè  ), e i   sono numeri primi. Sia   un numero intero. Il simbolo di Kronecker   è definito da

 

Per   dispari, il numero   è semplicemente il classico simbolo di Legendre. Quindi manca solo da definire il caso   Definiamo   come

 

Poiché estende il simbolo di Jacobi, la quantità   è semplicemente   quando  . Quando  , si definisce come

 

Infine, poniamo

 

Queste estensioni sono sufficienti per definire il simbolo di Kronecker per tutti i valori interi di   e  

Alcuni autori definiscono il simbolo di Kronecker solo per insiemi più limitati di valori. Per esempio,   e  

Tabella dei valori

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La seguente è una tabella dei valori del simbolo di Kronecker   per  

k
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0
3 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
5 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 −1 1 0
6 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 0
7 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1 −1 1 −1 −1 0 1 1
8 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0
9 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
10 1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0
11 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 0 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1
12 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0
13 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 0 1 −1 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 0 1 −1 1 1
14 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 −1 0
15 1 1 0 1 0 0 −1 1 0 0 −1 0 −1 −1 0 1 1 0 1 0 0 −1 1 0 0 −1 0 −1 −1 0
16 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
17 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 0 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1
18 1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 −1 0
19 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 −1 0 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 1
20 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0
21 1 −1 0 1 1 0 0 −1 0 −1 −1 0 −1 0 0 1 1 0 −1 1 0 1 −1 0 1 1 0 0 −1 0
22 1 0 −1 0 −1 0 −1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 −1 0 1 0
23 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 −1 0 1 1 1 1 −1 1 −1
24 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 0
25 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
26 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 0 0 0 −1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 −1 0 −1 0
27 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
28 1 0 −1 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 −1 0 1 0
29 1 −1 −1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 1 −1 1 1 1 1 −1 −1 1 0 1
30 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

Proprietà

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Il simbolo di Kronecker condivide molte proprietà del simbolo di Jacobi, con alcune restrizioni:

  •   Se  , altrimenti  
  •   a meno che  , uno tra   è zero e l'altro è negativo.
  •   a meno che  , uno tra   è zero e l'altro ha una parte dispari (definizione di seguito) congruente a  
  • Per  , si ha che   ogni volta che   Se in aggiunta   hanno lo stesso segno, lo stesso vale anche per  
  • Per  ,  , si ha che   ogni volta che  

D'altra parte, il simbolo di Kronecker non ha lo stesso legame con i residui quadratici del simbolo di Jacobi. In particolare, i valori del simbolo di Kronecker   per   pari sono indipendenti dal fatto che   sia un residuo quadratico o meno modulo  

Reciprocità quadratica

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Il simbolo di Kronecker soddisfa anche le seguenti versioni della legge di reciprocità quadratica.

Per qualsiasi numero intero diverso da zero   sia   la sua parte dispari, cioè:   dove   è dispari (per  , si pone  ). Quindi la seguente versione simmetrica della reciprocità quadratica vale per ogni coppia di numeri interi   tali che  

 

dove il segno   è   se   o se   ed è   se   e  

Esiste anche una versione non simmetrica equivalente della reciprocità quadratica che vale per ogni coppia di interi   coprimi:

 

Per qualsiasi numero intero   sia   Allora si ha un'altra versione non simmetrica equivalente che afferma che

 

per ogni coppia di numeri interi   (non necessariamente coprimi).

Anche le leggi supplementari si generalizzano al simbolo di Kronecker. Queste leggi derivano facilmente da ogni versione della legge di reciprocità quadratica indicata sopra (a differenza del simbolo di Legendre e Jacobi, dove sono necessarie sia la legge principale che le leggi supplementari per descrivere completamente la reciprocità quadratica).

Per qualsiasi numero intero   si ha

 

e per qualsiasi numero intero dispari   si ha

 

Legame con i caratteri di Dirichlet

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Se   e   la funzione   è un carattere di Dirichlet reale di modulo   Al contrario, ogni carattere di Dirichlet reale può essere scritto in questa forma con   (per   è  ).

In particolare, i caratteri primitivi di Dirichlet reali   sono in corrispondenza biunivoca con i campi quadratici  , dove   è un intero privo di quadrati diverso da zero (possiamo includere il caso   per rappresentare il carattere principale, anche se non è propriamente un campo quadratico). Il carattere   può essere recuperato dal campo come il simbolo di Artin  : cioè per un numero primo positivo  , il valore di   dipende dal comportamento dell'ideale   nell'anello degli interi  :

 

Inoltre   è uguale al simbolo di Kronecker   dove

 

è il discriminante di   Il conduttore di   è  

Allo stesso modo, se  , la funzione   è un carattere di Dirichlet reale di modulo   Tuttavia, non tutti i caratteri reali possono essere rappresentati in questo modo, ad esempio non esiste nessun   per cui il carattere   può essere scritto come   Per la legge di reciprocità quadratica, si ha che   Un carattere   può essere rappresentato come   se e solo se la sua parte dispari   nel qual caso possiamo prendere  

  1. ^ [1]

Bibliografia

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Voci correlate

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