Ipertetraedro

In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).

Ipertetraedro
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo	Policoro regolare
Forma celle	Tetraedri regolari
Nº celle	5 tetraedri regolari
Nº facce	10 triangoli equilateri
Nº spigoli	10
Nº vertici	5
Cuspidi dei vertici	(tetraedro regolare)
Simbolo di Schläfli	{3,3,3}
Duale	ipertetraedro (è autoduale)
Proprietà	convesso, regolare, simplesso

L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.

Descrizione

Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale $\mathbb {R} ^{4}$ che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti

$P_{0}=(0,0,0,0),P_{1}=(1,0,0,0),P_{2}=(0,1,0,0),P_{3}=(0,0,1,0),P_{4}=(0,0,0,1)$

L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:

${\big \{}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\ |\ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\geqslant 0,x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\leqslant 1{\big \}}$

Facce

Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

• Il pentacoro ha 5 vertici $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$.
• Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
• Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
• Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni

Una proiezione dell'ipertetraedro nello spazio. Ci sono 5 vertici: ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ogni terna di vertici determina un triangolo, ogni quaterna determina una cella: celle e triangoli si sovrappongono nella proiezione.

In questa animazione è mostrata una proiezione nello spazio di un ipertetraedro che sta ruotando nello spazio 4-dimensionale $\mathbb {R} ^{4}$. La rotazione è una rotazione simultanea su due piani ortogonali.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo $\mathbb {R} ^{4}$).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Sviluppo

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Uno sviluppo del pentacoro

Dualità

L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.

Relazione di Eulero

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

$V+F=S+C.$

In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.

Modello

Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.

• 
  5-cella (versione implosa)
• 
  5-cella (versione esplosa)
• 
  Sviluppo della 5-cella

Bibliografia

• Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
• Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
• L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.

Voci correlate

• Politopi regolari
• Numeri ipertetraedrici
• Triangolo
• Tetraedro
• Tesseratto

Altri progetti

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• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'ipertetraedro

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Pentatope, su MathWorld, Wolfram Research.
• Richard Klitzing (multi) prismi, e altri policori di Wythoffian x3o3o3o - pen
• Der 5-Zeller (5-cell) Politopi Regolari di Marco Möller in R⁴ (German)
• Jonathan Bowers, Regular polychora, su polytope.net.
• Java3D Applets, su public.beuth-hochschule.de. URL consultato il 22 gennaio 2011 (archiviato dall'url originale il 18 luglio 2011).