Ipertetraedro

Ipertetraedro
Schlegel wireframe 5-cell.png
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo Policoro regolare
Forma celle Tetraedri regolari
Nº celle 5 tetraedri regolari
Nº facce 10 triangoli equilateri
Nº spigoli 10
Nº vertici 5
Cuspidi dei vertici 5-cell verf.png
(tetraedro regolare)
Simbolo di Schläfli {3,3,3}
Duale ipertetraedro (è autoduale)
Proprietà convesso, regolare,
simplesso

In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).

L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.

DescrizioneModifica

Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale   che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti

 

L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:

 

FacceModifica

Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  • Il pentacoro ha 5 vertici  .
  • Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
  • Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

ProiezioniModifica

 
Una proiezione dell'ipertetraedro nello spazio. Ci sono 5 vertici: ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ogni terna di vertici determina un triangolo, ogni quaterna determina una cella: celle e triangoli si sovrappongono nella proiezione.
 
In questa animazione è mostrata una proiezione nello spazio di un ipertetraedro che sta ruotando nello spazio 4-dimensionale  . La rotazione è una rotazione simultanea su due piani ortogonali.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo  ).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

SviluppoModifica

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

 
Uno sviluppo del pentacoro

DualitàModifica

L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.

Relazione di EuleroModifica

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

 

In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.

ModelloModifica

Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.

BibliografiaModifica

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (a cura di), Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9.

Voci correlateModifica

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