Tetraedro
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Tipo Solido platonico
Forma facce Triangoli
Nº facce 4
Nº spigoli 6
Nº vertici 4
Valenze vertici 3
Gruppo di simmetria Gruppo simmetrico
Duale Tetraedro
Angoli diedrali 70° 32'
Proprietà non chirale

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha vertici e spigoli. Analogamente si può definire come solido con vertici o spigoli. Viene chiamato anche tetragono (da Dante).

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'.

Indice

Parametri metriciModifica

Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza   sono i seguenti

Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta)  
Angolo diedrale   (circa 71°)
Area della superficie totale  
Volume  

La costruzione di EuclideModifica

 
Fig. 1: determinazione dello spigolo   del tetraedro inscritto nella sfera di diametro  
 
Fig. 2: costruzione del tetraedro

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia   (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto   in modo che   sia il doppio di  . Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da   e si denoti con   il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la circonferenza. Infine, si congiungano i punti  .

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per  , con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti  ,   ed  .

È chiaro che i vertici  ,  ,   e   si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro  , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli  ,   ed   sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli  ,   ed   (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento   è medio proporzionale fra i segmenti   e  . Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

 
 
 

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento   o, per praticità, il suo quadrato:

 

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento   è cateto del triangolo   rettangolo in  , quindi:

 

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice  , hanno tutti la stessa lunghezza   e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a   del quadrato del diametro  .

Poliedro dualeModifica

 
Tetraedri

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.

SimmetrieModifica

 
Simmetrie del tetraedro: rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano.

Il tetraedro ha   simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo   di permutazioni di   elementi, di cardinalità  . Tra queste,   sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre   invertono l'orientazione dello spazio.

Le   simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante  . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto (  possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti (  possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi   rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le   simmetrie rotatorie.

 
Le 12 simmetrie rotatorie del tetraedro. Oltre all'identità, vi sono   rotazioni lungo assi passanti per i vertici e   lungo assi che collegano spigoli opposti.

Numerando i vertici del tetraedro con  ,  ,   e  , le rotazioni di 120° e 240° corrispondo alle permutazioni

 

ovvero ai cicli di ordine  . Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

 

ottenute come prodotto di  -cicli indipendenti.

Delle   simmetrie che non preservano l'orientazione,   sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine  

 

Infine, le altre   simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine  

 

GeneralizzazioniModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Simplesso.

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo  -dimensionale avente   vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per   il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

Einstein e il tetraedroModifica

 
Un tetraedro regolare.

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein[1]: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:

Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.

Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su di un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:

Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?

NoteModifica

  1. ^ Maria Toffetti, Campo estivo per giovani geni, A.Mondadori, 2009.

Voci correlateModifica

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