Sottospazio ortogonale

In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di ortogonalità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo   munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana  . Sia   un sottospazio vettoriale di  . Il sottospazio ortogonale   di   è l'insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori di  :[1]

 

Dove due vettori   di   sono detti ortogonali se e solo se  .

Si dimostra facilmente che l'insieme  , munito della somma e del prodotto mutuati da  , è un sottospazio vettoriale di  ; si dimostra inoltre che, se   è il sottospazio generato dai vettori di  , allora:

 

Dimensioni e somma direttaModifica

Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale di  . La sua dimensione non è fissata generalmente, ma vale la disuguaglianza:

 

Se il prodotto scalare o la forma hermitiana è non degenere, vale l'uguaglianza:

 

Infine, se   e   è un prodotto scalare definito positivo, oppure se   e   è una forma hermitiana definita positiva, lo spazio   ed il suo ortogonale sono in somma diretta:[2]

 

Questo è il caso ad esempio in ogni spazio euclideo o spazio di Hilbert. Lo stesso risultato vale se   è definito negativo. Per questo motivo, se   è definito positivo o negativo il sottospazio ortogonale è chiamato anche complemento ortogonale.

Relazioni con le altre operazioniModifica

Valgono le relazioni seguenti per ogni coppia   e   di sottospazi di  :

 

Se   è non degenere, vale:

 

RadicaleModifica

Il radicale di   è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di  :

 

Un prodotto scalare (o forma hermitiana)   è non degenere quando il radicale è il sottospazio banale (consta cioè del solo elemento zero).

NoteModifica

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 285.
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 286.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica


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