In analisi funzionale , uno spazio di Besov
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando
1
≤
p
{\displaystyle 1\leq p}
e
q
≤
∞
{\displaystyle q\leq \infty }
. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev .[1] Nello specifico, sia:
Δ
h
f
(
x
)
=
f
(
x
−
h
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}
una differenza finita e si consideri il modulo di continuità :
ω
p
2
(
f
,
t
)
=
sup
|
h
|
≤
t
‖
Δ
h
2
f
‖
p
{\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}
Se n è un numero intero non negativo, definendo
s
=
n
+
α
{\displaystyle s=n+\alpha }
con
0
<
α
≤
1
{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
, lo spazio di Besov
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
contiene tutte le funzioni
f
{\displaystyle f}
tali che:
f
∈
W
n
,
p
(
R
)
∫
0
∞
|
ω
p
2
(
f
(
n
)
,
t
)
t
α
|
q
d
t
t
<
∞
{\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbb {R} )\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty }
dove
W
n
,
p
(
R
)
{\displaystyle W^{n,p}(\mathbb {R} )}
è uno spazio di Sobolev.
Nello spazio di Besov
B
p
,
q
s
(
R
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
è definita la norma :
‖
f
‖
B
p
,
q
s
(
R
)
=
(
‖
f
‖
W
n
,
p
(
R
)
q
+
∫
0
∞
|
ω
p
2
(
f
(
n
)
,
t
)
t
α
|
q
d
t
t
)
1
q
{\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}
Lo spazio
B
2
,
2
s
(
R
)
{\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbb {R} )}
coincide con il classico spazio di Sobolev
H
s
(
R
)
{\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} )}
.
Differenze finite e moduli di continuità
modifica
La differenza finita di ordine m e passo h applicata a
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
è definita nel seguente modo:
Δ
h
m
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
(
−
1
)
m
−
k
f
(
x
+
k
h
)
{\displaystyle \Delta _{h}^{m}f(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f(x+kh)}
Da cui il modulo di continuità di ordine m di
f
{\displaystyle f}
in Lp è definito da:
ω
p
m
(
f
,
t
)
=
sup
|
h
|
≤
t
‖
Δ
h
m
f
‖
p
{\displaystyle \omega _{p}^{m}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\|\Delta _{h}^{m}f\|_{p}}
Siano
Ω
⊆
R
d
{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}
un dominio,
s
>
0
{\displaystyle s>0}
e
p
,
q
∈
(
0
,
∞
]
{\displaystyle p,q\in (0,\infty ]}
. Si ponga inoltre
m
:=
[
s
]
+
1
{\displaystyle m:=[s]+1}
. Lo spazio di Besov:
B
p
,
q
s
(
Ω
)
:=
B
p
s
,
q
(
Ω
)
:=
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\Omega ):=B_{p}^{s,q}(\Omega ):=B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}
è l'insieme delle funzioni in
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega )}
tali che la quasi-seminorma :
|
f
|
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
=
{
(
∫
0
∞
[
t
−
s
ω
p
m
(
f
,
t
)
]
q
d
t
t
)
1
q
0
<
q
<
∞
sup
t
∈
(
0
,
∞
)
t
−
s
ω
p
m
(
f
,
t
)
q
=
∞
{\displaystyle |f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}={\begin{cases}\left(\int _{0}^{\infty }[t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)]^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\quad &0<q<\infty \\\sup _{t\in (0,\infty )}t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)&q=\infty \end{cases}}}
è finita. In simboli:
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
:=
{
f
∈
L
p
t.c.
|
f
|
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
<
∞
}
{\displaystyle B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega )):=\{f\in L^{p}{\mbox{ t.c. }}|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}<\infty \}}
Questo spazio è munito della norma :
‖
f
‖
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
=
‖
f
‖
L
p
+
|
f
|
B
q
s
(
L
p
(
Ω
)
)
{\displaystyle \|f\|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}=\|f\|_{L^{p}}+|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}}
Siano
Ω
⊆
R
d
{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}
un dominio lipschitziano ,
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
e
p
∈
[
1
,
∞
]
{\displaystyle p\in [1,\infty ]}
. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di
f
{\displaystyle f}
in Lp :
K
(
f
,
t
m
;
L
p
(
Ω
)
,
W
m
(
L
p
(
Ω
)
)
)
≈
ω
p
m
(
f
,
t
)
{\displaystyle K(f,t^{m};L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))\approx \omega _{p}^{m}(f,t)}
Quindi gli spazi che interpolano
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle L^{p}(\Omega )}
e
W
m
(
L
p
(
Ω
)
)
{\displaystyle W^{m}(L^{p}(\Omega ))}
sono spazi di Besov:
(
L
p
(
Ω
)
,
W
m
(
L
p
(
Ω
)
)
)
θ
,
q
=
B
q
θ
m
(
L
p
(
Ω
)
)
∀
θ
∈
(
0
,
1
)
∀
q
∈
(
0
,
∞
]
{\displaystyle (L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))_{\theta ,q}=B_{q}^{\theta m}(L^{p}(\Omega ))\qquad \forall \,\theta \in (0,1)\quad \forall \,q\in (0,\infty ]}
^ (EN ) Eric W. Weisstein, Spazio di Besov , in MathWorld , Wolfram Research.
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