Modulo di continuità

In matematica, il modulo di continuità è uno strumento per misurare il comportamento di una funzione. È un modo per descrivere quantitativamente la dipendenza di da nella definizione di uniforme continuità.

StoriaModifica

La definizione è stata introdotta da Henri Lebesgue nel 1910 in riferimento all'oscillazione di una trasformata di Fourier, ma il concetto era conosciuto già da tempo. De la Vallée Poussin nel 1919 nominava come termine alternativo "modulo di oscillazione", ma concludeva "ma continueremo a usare "modulo di continuità" per sottolineare l'uso che vogliamo farne".

DefinizioneModifica

Siano   una funzione di dominio   aperto a valori in  ,   un punto di   e   un numero reale positivo. Si definisce modulo di continuità locale di   in   una funzione   tale che

 

È invece detto modulo di continuità globale una funzione   tale che

 

La definizione si può facilmente estendere a funzioni tra spazi normati sostituendo al modulo la norma dello spazio selezionato. Il modulo di continuità misura l'uniforme continuità della funzione  .

ProprietàModifica

Si dimostra che   è continua in   se e solo se essa ammette un modulo di continuità locale   tale che  .
Analogamente, si dimostra che una funzione   è uniformemente continua se e solo se ammette un modulo di continuità globale   tale che  
Un insieme di funzioni continue   è equicontinuo se e solo se le funzioni ammettono un modulo di continuità comune.

EsempiModifica

La connessione tra regolarità in termini di funzione liscia e modulo di continuità per funzioni definita sull'intera retta reale è molto delicata. Basti ad esempio la considerazione che, se  ,   per ogni  , anche se   è infinitamente differenziabile. La discussione si fa più particolareggiata se il dominio è un intervallo chiuso (più in generale uno spazio compatto).

Per una funzione derivabile in un intervallo il modulo di continuità ha crescita sub-lineare, cioè soddisfa:

 

per una costante   che risulta dipendente dal valore assoluto della sua derivata.

Le funzioni hölderiane corrispondono a precisi moduli di continuità.   appartiene alla classe   se e solo se:

 

per qualche costante  .

Ribaltando il punto di vista, affinché una funzione   definita sui reali positivi sia il modulo di continuità di una qualche funzione continua, è condizione necessaria e sufficiente che essa sia non decrescente, continua, subadditiva e che  .

Moduli di continuità di ordine superioreModifica

Dalla considerazione che:

 

dove   è la differenza finita di prim'ordine di   in  , sostituendo tale differenza con una di ordine superiore otteniamo un modulo di continuità di ordine n:

 

BibliografiaModifica

  • Ch. de la Vallée Poussin, L'approximation des fonctions d'une variable réelle, Gauthier-Villars, Paris, 1919
  • G. Choquet, Cours D'Analyse. Tome II, Topologie, Masson et Cie, Paris, 1964.
  • Ch. de la Vallée Poussin, L'approximation des fonctions d'une variable réelle, Gauthier-Villars, Paris, 1952 (reprint of 1919 edition).
  • H. Lebesgue, Sur les intégrales singulières, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, ser 3 vol 1, 1909, 25-117, reproduced in: Henri Lebesgue, Œuvres scientifiques, Vol. 3., pp. 259-351.
  • K.-G. Steffens, The history of approximation theory, Birkhäuser, Boston 2006.
  • A.V. Efimov, Modulus of continuity, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001. ISBN 1-4020-0609-8.

Voci correlateModifica

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