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Spazio localmente compatto

tipo di spazio topologico

In matematica, in particolare in topologia, uno spazio topologico è detto localmente compatto se per ogni suo punto esiste un intorno la cui chiusura è un insieme compatto.[1]

La compattezza locale è una proprietà di regolarità di uno spazio topologico: gli spazi euclidei sono localmente compatti, mentre ad esempio gli spazi di Banach infinito dimensionali non lo sono.

In letteratura sono presenti diverse definizioni di spazio localmente compatto, tutte equivalenti nel caso in cui si trattino spazi di Hausdorff (che sono di gran lunga i più comuni utilizzati in matematica). In questa voce diamo prima delle nozioni generali, valide per spazi topologici arbitrari, tuttavia le principali applicazioni della teoria saranno date principalmente per spazi di Hausdorff.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio topologico. Esso si dice localmente compatto se ogni punto   ammette una base di intorni costituita di insiemi compatti.[2] Ossia, se per ogni aperto   contenente un dato punto  , esiste un compatto   contenente a sua volta un aperto   a cui appartiene  .

In particolare, ogni spazio di Hausdorff localmente compatto è uno spazio di Tychonoff ed uno spazio di Baire.

EsempiModifica

Spazi localmente compatti ma non necessariamente compattiModifica

Spazi non localmente compattiModifica

  • Uno spazio normato infinito-dimensionale equipaggiato con la topologia indotta dalla norma non è localmente compatto.
  • Un esempio più semplice, ma meno utile, è l'insieme   dei numeri razionali strutturato con la topologia euclidea di  .
  • Il piano di Moore non è localmente compatto.

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 72.
  2. ^ W. Rudin, Pag. 36.

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) John Kelley, General Topology, Springer, 1975, ISBN 0-387-90125-6.
  • (EN) James Munkres, Topology, 2nd, Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6, (Dover edition).

Voci correlateModifica