Polinomio ciclotomico

In matematica, l' $n$ -esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

\Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}\left(z-z_{k}\right),

dove $\varphi$ è la funzione φ di Eulero, e $z_{k}$ sono quei numeri distinti per cui vale

{\begin{aligned}z_{k}^{n}&=1;\\z_{k}^{m}&\neq 1,\quad \forall \,m<n.\end{aligned}}

Formula generale modifica

Il polinomio $z^{n}-1$ ha come radici tutte le radici $n$ -esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice $d$ -esima primitiva, dove $d$ è un divisore positivo di $n$ . Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

z^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(z).

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

\Phi _{n}(z)=\prod _{d\mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}(z^{d}-1)^{\mu (n/d)},

dove $\mu$ è la funzione di Möbius.

Proprietà modifica

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se $p$ è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di $z$ da $0$ a $p-1$ :

\Phi _{p}(z)=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.

Sostituendo a $z$ un qualunque numero naturale $n\in \mathbb {N}$ , $\Phi _{p}(n)$ è una repunit in base $n$ ; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se $p$ è primo e $d\mid \Phi _{p}$ , allora $d\equiv 1{\pmod {p}}$ oppure $d\equiv 0{\pmod {p}}$ .

Dalla formula generale è possibile calcolare algoritmicamente ogni polinomio ciclotomico, ma ci sono altre proprietà che legano i vari polinomi ciclotomici $\Phi _{n}$ in base ai primi che dividono $n$ . In particolare:^[1]

$\Phi _{p^{r}}(z)=\Phi _{p}(z^{p^{r-1}})$ , per $p$ primo;
$\Phi _{n}(z)=\Phi _{p_{1}\dots p_{s}}(z^{{p_{1}}^{r_{1}-1}\dots {p_{s}}^{r_{s}-1}})$ , per $n=p_{1}^{r_{1}-1}\dots p_{s}^{r_{s}-1}$ con fattori $p_{i}$ distinti;
$\Phi _{2n}(z)=\Phi _{n}(-z)$ , per $n\geq 3$ dispari;
$\Phi _{pn}(z)={\dfrac {\Phi _{n}(z^{p})}{\Phi _{n}(z)}}$ , per un qualsiasi primo $p$ tale che $p\nmid n$ .

Elenco di polinomi ciclotomici modifica

I primi polinomi ciclotomici sono:

{\begin{aligned}\Phi _{1}(z)&=z-1\\\Phi _{2}(z)&=z+1\\\Phi _{3}(z)&=z^{2}+z+1\\\Phi _{4}(z)&=z^{2}+1\\\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{6}(z)&=z^{2}-z+1\\\Phi _{7}(z)&=z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{8}(z)&=z^{4}+1\\\Phi _{9}(z)&=z^{6}+z^{3}+1\end{aligned}}

È stato dimostrato da A. S. Bang e A. Migotti^[2] che se $n$ ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora $\Phi _{n}$ ha solo coefficienti tra $1$ , $0$ e $-1$ ^[3]. Il primo $n$ a non soddisfare queste ipotesi è $105=3\cdot 5\cdot 7$ , e calcolando $\Phi _{105}$ si nota che tra i coefficienti compare un $-2$ . Il viceversa non vale: $\Phi _{651}(z)$ = $\Phi _{3\cdot 7\cdot 31}(z)$ ha solo coefficienti in $\{1,-1,0\}$ ma $651$ è prodotto di tre primi dispari distinti.

Sempre sui coefficienti dei polinomi ciclotomici, si dimostra per induzione che il termine noto di $\phi _{n}$ , per ogni $n\neq 1$ , è esattamente $1$ .