Sottospazio relativamente compatto

In matematica, un sottospazio relativamente compatto di uno spazio topologico è un sottoinsieme dello spazio topologico la cui chiusura è compatta.

Dal momento che sottoinsiemi chiusi di uno spazio compatto sono compatti, ogni sottoinsieme di uno spazio compatto è relativamente compatto. Quando la compattezza è verificata per successioni (come può succedere in uno spazio metrico), un sottospazio $Y$ di uno spazio topologico $X$ è relativamente compatto se ogni successione in $Y$ possiede una sottosuccessione convergente in $X$. Tale sottospazio è anche detto relativamente limitato o precompatto, sebbene l'ultimo termine identifichi spesso insiemi totalmente limitati (che in spazi completi sono la stessa cosa).

Esistono diversi teoremi che caratterizzano gli spazi relativamente compatti, in particolare spazi funzionali. Ad esempio, il teorema di Ascoli-Arzelà, i risultati riguardanti le nozioni di integrabilità uniforme e famiglia normale, e il teorema di compattezza di Mahler.

Bibliografia

• (EN) V. Khatskevich, D.Shoikhet, Differentiable Operators and Nonlinear Equations, Birkhäuser Verlag AG, Basel, 1993, 270 pp. at google books

Voci correlate

• Chiusura (topologia)
• Immersione compatta
• Operatore compatto
• Operatore completamente continuo
• Spazio compatto
• Spazio localmente compatto
• Spazio totalmente limitato

Collegamenti esterni

• (EN) M.I. Voitsekhovskii, Pre-compact space, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.