Spazio totalmente limitato

In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio.

DefinizioneModifica

Uno spazio metrico   si dice totalmente limitato se per ogni raggio   esiste una collezione finita di palle   tali che:

 

Spazi limitati e totalmente limitatiModifica

La nozione di spazio totalmente limitato è molto simile a quella di spazio limitato, ma è in realtà più forte: è infatti facile dimostrare che ogni spazio totalmente limitato è limitato[1]. D'altro canto, esistono esempi di insiemi limitati che non sono totalmente limitati; ad esempio, considerando il piano   con la metrica discreta:

 

si ha che per qualunque raggio  , occorrono infinite palle per ricoprire il piano, in quanto ogni punto dista 1 da tutti gli altri punti. Esistono tuttavia molti casi in cui le due nozioni coincidono, ad esempio uno spazio euclideo è totalmente limitato se e solo se è limitato.

Relazioni con gli spazi compattiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio compatto.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Questa proprietà è una estensione del teorema di Heine-Borel, che caratterizza gli spazi euclidei compatti. È inoltre possibile dimostrare che uno spazio è totalmente limitato se e solo se lo è il suo completamento; sugli spazi euclidei questo equivale a dire che uno spazio è limitato se e solo se lo è la sua chiusura. Dalle due precedenti proprietà segue che uno spazio è totalmente limitato se e solo se il suo completamento è compatto: quest'ultima caratterizzazione può venire considerata come definizione di spazio totalmente limitato.

Estensioni a spazi topologiciModifica

La definizione sopra data può essere estesa anche a spazi non dotati di una distanza, ma di una più generica struttura di spazio topologico.

Un sottoinsieme   di uno spazio vettoriale topologico o un gruppo abeliano topologico è detto totalmente limitato se, per ogni intorno   dell'elemento neutro  , esiste un ricoprimento finito formato da traslazioni di sottoinsiemi di  . Definire l'intorno  equivale a fissare la "dimensione" degli insiemi che formano il ricoprimento, "dimensione" che non è alterata traslando l'insieme stesso. In simboli si può scrivere:

 

Se   non è abeliano, è possibile definire due nozioni separate di spazio totalmente limitato a sinistra o a destra, sostituendo nella definizione sopra   rispettivamente con le traslazioni sinistre e destre   e  .

Infine è possibile estendere la definizione per qualunque struttura che possieda la definizione di compattezza e completezza, usando la caratterizzazione definita nel paragrafo precedente e definendo pertanto gli spazi totalmente limitati come spazi il cui completamento è compatto. Se vale l'assioma della scelta, questa definizione è anche equivalente a quella di spazio precompatto.

NoteModifica

  1. ^ È sufficiente considerare una sfera di raggio  , che contenga ogni singola sfera del ricoprimento

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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