Teorema del massimo modulo

In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione è analitica in un dominio (aperto e connesso) , allora ammette un massimo in se e solo se è una funzione costante.

In particolare, se è una funzione analitica non costante in un dominio limitato e continua sul bordo allora il valore massimo di sulla chiusura di (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su .

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio .

DimostrazioneModifica

Supponiamo che   ammetta un massimo   in un punto  . Essendo   aperto, segue che esiste   tale che il cerchio   di centro   e raggio   sia contenuto in  .

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

 

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

 

dove   e l'uguaglianza vale se e solo se   è costante (con  ) su   e quindi su tutto   per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che   è il massimo di   e dunque si deve necessariamente avere  .

BibliografiaModifica

  • (EN) E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
  • (EN) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.

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