Apri il menu principale

Teorema di Weierstrass

teorema che afferma l'esistenza del minimo e del massimo per le funzioni reali continue definite su un intervallo chiuso
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando l'omonimo teorema di approssimazione, vedi Teorema di approssimazione di Weierstrass.
Una funzione continua nell'intervallo [a,b] ammette un massimo e un minimo, rispettivamente in c e in d

In analisi matematica, il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di funzioni di variabile reale. Il teorema può essere esteso anche a funzioni reali definite in generale su spazi topologici (e dunque anche su qualsiasi spazio metrico).

Enunciato, per funzioni reali a una variabile realeModifica

Sia   un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia   una funzione continua. Allora   ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo  .

Dimostrazione con la nozione di compattezzaModifica

Poiché   è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. Dato che   è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è un compatto; quindi anche la sua immagine mediante   sarà un compatto di  , e dunque è provvista di massimo e minimo, ovvero   assume un valore massimo e uno minimo in essa. Le loro controimmagini in   sono rispettivamente un punto di massimo e uno di minimo assoluti.

Dimostrazione con successioni di puntiModifica

Poniamo   e individuiamo una successione  ,  , tale che   per  . Questa successione certamente esiste: infatti dalla definizione di estremo superiore segue che:

  • se  , allora   tale che  .
  • se  , allora   tale che  .

Per ogni   scegliamo ora   tale che  . Siccome   è limitato, la successione   è limitata, quindi per il teorema di Bolzano - Weierstrass ammette una sottosuccessione   convergente; sia   il suo limite per   Per la continuità di  , abbiamo:   per   D'altra parte   per  . Per il teorema dell'unicità del limite si ha che   e  . Abbiamo quindi dimostrato che la funzione   assume in   il suo valore massimo.

Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto   dove la funzione assume il suo valore minimo assoluto.

Necessità delle ipotesiModifica

Chiaramente il fatto che una funzione non soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass, non implica che non esistano massimo o minimo della funzione; semplicemente, rinunciando alle condizioni di Weierstrass, la loro esistenza non è garantita. Inoltre, come si vedrà nei controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l'enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle tre ipotesi.

 
Controesempio nº1. La funzione   nell'intervallo   ridefinita in   non è continua. Il teorema di Weierstrass non è quindi valido.
  •   non continua: Si consideri   tale che   per   e  , che non è continua in  . Il teorema non è applicabile, infatti non ha un minimo ma solo un estremo inferiore uguale a  .
  • L'intervallo non è chiuso: Si consideri  . Essa è continua nell'intervallo limitato  , che però non è chiuso. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a  .
  • L'intervallo non è limitato: Si consideri  . Essa è continua  , tuttavia l'intervallo è illimitato. Il teorema non è applicabile, infatti non ha un massimo ma solo un estremo superiore uguale a  .

Spazi topologiciModifica

Il teorema nell'ambito degli spazi topologici ha la seguente forma:

Sia   uno spazio topologico e sia   continua in  . Allora se   è uno spazio compatto[1],   ammette massimo e minimo assoluti in  . Equivalentemente il teorema vale per i sottoinsiemi compatti di  . La dimostrazione è quella riportata sopra usando la nozione di compattezza.

NoteModifica

  1. ^ P. M. Soardi, p.183.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica