Disuguaglianza di Darboux

La disuguaglianza di Darboux è una disuguaglianza relativa all'integrazione sul piano complesso: essa afferma che il modulo dell'integrale di una funzione, lungo una curva del piano complesso, è sempre minore o uguale del massimo valore in modulo della funzione, moltiplicato per la lunghezza della curva. In maniera più formale, per l'integrale curvilineo di una funzione lungo la curva la disuguaglianza di Darboux è la seguente:

dove è il massimo valore in modulo assunto dalla funzione lungo la curva, e è la lunghezza della curva.

Dimostrazione: suddividiamo la curva in punti , e tra i punti prendiamo i punti . Definiamo ora

da cui si ottiene

e vale inoltre la seguente relazione

da cui passando al limite per si ottiene la disuguaglianza di Darboux.

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